第一章 行 列 式

【课题】 第1 讲 排列及其逆序数、【学时数】 2

【教学目的】1.理解排列及其逆序数的概念；

2.熟练掌握二、三阶行列式的计算

【教学重点】 二、三阶行列式的计算 【教学难点】 三阶行列式的展开式 【教学过程】

n阶行列式的定义

§1.1 排列及其逆序数

一、 排列与逆序的概念

1、排列

问：现在给 1,2,3,4，四个数字，能够组成多少个没有重复数字的四位数？4!?24个，4231就是一个，且是一个排列，1234称为标准排列．

下面一般的给出定义

定义1.1.1 由1,2,?,n这n个数组成的一个有序数组称为一个n阶排列，记为

p1p2?pn，其中排列12?n称为标准排列.

1,2,?,n的n阶排列共有 n?n?1??n?2?L2?1?n! 个.

2、逆序数 定义1.1.2

逆序 在一个n阶排列中，当某二个数，较大的排在较小的前面，则称这两个数有一个

逆序，

逆序数 这个n阶排列中所有逆序的总数称为该排列的逆序数.

排列p1p2?pn的逆序数记为??p1p2?pn?

偶排列 当逆序数为偶数时，称这个排列为偶排列，

奇排列 当逆序数为奇数时，称这个排列为奇排列.

若pi?i?2,3,?,n?的前面有ti个比它大的数，就说pi的逆序数是ti. 则排列

p1p2?pn的逆序数为： t2?t3???tn??ti.

例1 ??42315??1?1?3?0?5， 是奇排列； ??53412??1?1?3?3?8， 是偶排列； 问：??12345??0 ， 是偶排列.

i?2n??12?n??0 是偶排列. 标准排列的逆序数为0.

二、 对换及性质

对换 在排列中, 对调任意两个元素, 其余元素位置不变, 而得到新排列的做法叫做对换，相邻两个元素的对换, 叫做相邻对换.

现看 ??42315??1?1?3?0?5???41325??1?1?2?0?4 为偶排列

??53412??1?1?3?3?8???54312??1?2?3?3?9 为奇排列

性质1 一个排列中，任意对换两数，则排列改变奇偶性. 证 （见书 略）

性质2

偶排列变成标准排列的对换次数为偶数， 奇排列变成标准排列的对换次数为奇数.

1,3对换5，4对换??12354?????12345 例如 32154???证 （可略） 因为标准排列的逆序数为0，是偶数，再由定理1.1.1知对换一次，奇偶性改变一次，从而偶排列变为偶排列，其对换次数应为偶数，奇排列变为偶排列，其对换次数为奇数.

§1.2 n阶行列式的定义

一、 二阶与三阶行列式

1、二阶行列式

用消元法解二元一次方程组 ??a11x1?a12x2?b1, （1）

?a21x1?a22x2?b2.为消去未知数x2,以第一个方程乘以a22减去第二个方程乘以a12,得

?a11a22?a12a21?x1?b1a22?b2a12，

类似地可消去x1,得 ?a11a22?a12a21?x2?b2a11?b1a21， 当a11a22?a12a21?0时,求得

x1?b1a22?b2a12,a11a22?a12a21x2?b2a11?b1a21. (2)

a11a22?a12a21为了便于记忆,引入下面定义.

定义1.2.1 由四个数a11,a12,a21,a22,排成二行二列 (横排为行,竖排为列) 的数表

a11a21a12a22所确定的表达式 a11a22?a12a21 称为二阶行列式,记为

D?a11a21a12a22?a11a22?a12a21 . (3)

其中数aij?i?1,2;j?1,2?称为行列式(3)的元素,第一个下标i称为行标, 第二个下标j称为列标, 数aij表示是位于行列式的第i,第j列的元素.

如图1.1中a11至a22的实联线称为主对角线, a12至a21虚联线称为副对角线,于是二阶行列式的值等于主对角线上两个元素的乘积减去副对角线上二个元素的乘积, 这种计算方法称为二阶行列式的对角线法则.

图1.1

例1 计算二阶行列式 D＝2＝15???4?＝19.

?25a12a22a12a22a11b13利用行列式的定义, (2)式中的分子也可写成二阶行列式,即

b1a22?a12b2?若记 D?可写成

b1b2b1b2,b2a11?b1a21?,D2?a11b1a21b2.

a11a12a21a22,D1?a21b2, 则(2)式, 即方程组(1)的解

b1a12ba22Dx1?1?2,a11a12Da21a22a11b1abDx2?2?212.

a11a12Da21a22注意, 这里的分母D是方程组(1)中的未知数的系数按原次序排列而成的二阶行列式,

D1是用常数项b1,b2替换D中x1的相应系数a11,a21而得到的二阶行列式, D2是用常

数项b1,b2替换D中x2的相应系数a12,a22而得到的二阶行列式.

例2 解二元一次方程组

?3x1?x2?5, ??2x1?4x2??6.解 由于

2?451D1???20???6???14;

?6?435D2???18?10??28;

2?6所以 x1?D?31??12?2??14?0;

D1?14D?28??2. ?1, x2?2?DD?14?14下面类似的定义三阶行列式. 2、三阶行列式

定义1.2.2 由3?9个数排成三行三列的数表

2a11 a21a12a13a31a11并记 D?a21a22a23 (4)

a32a33a13a23 a33a12a22a32a31

?a11a22a33?a13a21a32?a12a23a31?a13a22a31?a12a21a33?a11a23a32 (5)

则(5)式称为数表(4)所确定的三阶行列式.

三阶行列式所含6项的元素及符号可按图1.2记忆，即三阶行列式的值等于各实线上三个元素乘积之和减去各虚线上三个元素乘积之和. 这种计算方法称为三阶行列式的对角线法则.

图1.2

例3 计算三阶行列式

1 D?02345?24?(?10)?0?(?12)?0?0?26

?106从三阶行列式的展开式中，我们看出有如下的规律（现只用三阶行列式说明）： （1）三阶行列式是一个数，它为3！=6项的代数和.

（2）每一项都是三个元素的乘积，这三个元素是取自不同行及不同列的元素，且每行每列只能有一个元素.

（3）对于项a1p1a2p2a3p3，其中p1p2p3为数1,阶行列式的每一项可以写成??1?所以, 三阶行列式可写成

?(p1p2p3)2,3的一个全排列，当??p1p2p3?为

偶数时a1p1a2p2a3p3前面取正号；当??p1p2p3?为奇数时a1p1a2p2a3p3前面取负号；这样三

a1p1a2p2a3p3.

a11a21a31a12a22a32a23????1?a33

a13??p1p2p3?a1p1a2p2a3p3.

二、 n阶行列式的定义

定义1.2.3 由n个数, 排成n行n列的数表

2a11a21?an1并记

a12a22???a1na2n?ann

an2?