第15讲 函数与方程
题型1 函数零点个数的判断 (对应学生用书第50页)
■核心知识储备???????????????????????????· 1．零点存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根． 2．函数的零点与方程根的关系
函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．
■典题试解寻法???????????????????????????·
【典题1】 (考查数形结合法判断函数的零点个数)已知定义在R上的函数f(x)满足：①图象关于(1,0)点对称；②f(－1＋x)＝f(－1－x)；③当x∈[－1,1]时，f(x)＝1－x，x∈[－1，0]，???π
cosx，x∈?0，1]，?2?( )
A．5 C．7
|x|
2
?1?则函数y＝f(x)－??在区间[－3,3]上的零点个数为
?2?
|x|
B．6 D．8
等价转化1??[思路分析] 函数y＝f(x)－??在区间[－3,3]上的零点个数――――→函数y＝f(x)
?2?数形结合?1?与函数y＝??在[－3,3]上的图象交点个数―――――→下结论．
?2?[解析] 因为f(－1＋x)＝f(－1－x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝－1对称，又函数f(x)的图象关于
|x|
?1?点(1,0)对称，如图，画出f(x)以及g(x)＝??在[－?2?
|x|
1
?1?3,3]上的图象．由图可知，两函数图象的交点个数为5，所以函数y＝f(x)－??在?2?
区间[－3,3]上的零点个数为5，故选A. [答案] A
|x|
x2
【典题2】 (考查应用零点存在性定理判断函数的零点个数)已知函数fn(x)＝xln x－
n(n∈N，e＝2.718 28?为自然对数的底数)．
(1)求曲线y＝f1(x)在点(1，f1(1))处的切线方程； (2)讨论函数fn(x)的零点个数.
【导学号：07804105】
[解] (1)因为f1(x)＝xln x－x， 所以f1′(x)＝ln x＋1－2x， 所以f1′(1)＝1－2＝－1.
又f1(1)＝－1，所以曲线y＝f1(x)在点(1，f1(1))处的切线方程为y＋1＝－(x－1)，即y＝－x.
2
*
x2*
(2)令fn(x)＝0，得xln x－＝0(n∈N，x>0)，
n所以nln x－x＝0.
令g(x)＝nln x－x，则函数fn(x)的零点与函数g(x)＝nln x－x的零点相同． 因为g′(x)＝－1＝
nxn－x，令g′(x)＝0，得x＝n， x所以当x>n时，g′(x)<0；当0
所以函数g(x)在区间(0，n]上单调递增，在区间[n，＋∞)上单调递减． 所以函数g(x)在x＝n处有最大值，且g(n)＝nln n－n.
①当n＝1时，g(1)＝ln 1－1＝－1<0，所以函数g(x)＝nln x－x的零点个数为0； ②当n＝2时，g(2)＝2ln 2－2<2ln e－2＝0，所以函数g(x)＝nln x－x的零点个数为0；
③当n≥3时，g(n)＝nln n－n＝n(ln n－1)≥n(ln 3－1)>n(ln e－1)＝0， 因为g(e)＝nln e－e<2n－4＝2n－(1＋3)<2n－?1＋3n＋－[1＋3n＋3n(n－1)]＝－n－1<0，且g(1)<0，
所以由函数零点的存在性定理，可得函数g(x)＝nln x－x在区间(1，n)和(n，＋∞)内都恰有一个零点．所以函数g(x)＝nln x－x的零点个数为2.
综上所述，当n＝1或n＝2时，函数fn(x)的零点个数为0；当n≥3且n∈N时，函数fn(x)的零点个数为2.
*
2
2n2n2n2
n2n2
?
?
n?n－1?
2
×9??<2n2
?
2
[类题通法]
1.求函数零点个数的两种方法：
?1?由函数零点存在性定理，结合函数的单调性判断； ?2?由函数的单调性及函数极值的正负来确定.
2.零点个数的讨论,对于不可求的零点，需要通过方程转化为初等函数的交点个数判断.
3.零点讨论中的参数,针对参数的讨论有两个方向：一是方程根的个数；二是参数对构造的初等函数图象形状的影响.
■对点即时训练???????????????????????????· 2＋2??，x≤1
1．已知函数f(x)＝?2
??|log2?x－1?|，x>1
个数是( ) A．4 C．6
B．5 D．7
x
3
，则函数F(x)＝f[f(x)]－2f(x)－的零点
2
3
A [(数形结合思想)令f(x)＝t，则函数F(x)可化为y＝f(t)－2t－，则函数F(x)
233
的零点问题可转化为方程f(t)－2t－＝0有根的问题．令y＝f(t)－2t－＝0，即
22
f(t)＝2t＋，如图(1)，由数形结合得t1＝0,1 当f(x)＝0时，x＝2，有1个解，当f(x)＝t2时，有3个解，所以F(x)＝f[f(x)]3 －2f(x)－共有4个零点． 2故选A.] 32 图(1) 图(2) 2 3 4 2 016 2 017 xxxxx??cos 2x在区间[－3,3]上零点的个数＋2．函数f(x)＝?1＋x－＋－＋?－2342 0162 017??? 为( ) A．3 C．5 B．4 D．6 3 C [设函数g(x)＝1＋x－＋－＋?－＋，h(x)＝cos 2x，则f(x)＝ 2342 0162 017 x2x3x4x2 016x2 017 g(x)h(x)，g′(x)＝1－x＋x2－x3＋?－x2 015＋x2 016＝(1－x)＋x2(1－x)＋?＋x2 014(1 －x)＋x＋x2 015 2 016 .当－3≤x≤1时，显然g′(x)≥0；g′(x)＝1＋x(x－1)＋x(x－1)＋? 3 (x－1)，当1 又g(－1)<0，g(0)＝1>0，所以g(x)在区间[－3,3]上有且只有1个零点x0∈(－1,0)，π3πππ3π 且x0≠－.h(x)＝cos 2x在区间[－3,3]上有4个零点：－，－，，， 44444所以函数f(x)＝g(x)h(x)在区间[－3,3]上有5个零点．] ■题型强化集训???????????????????????????· (见专题限时集训T2、T5、T6、T13、T14) 题型2 已知函数的零点个数求参数的取值范围 (对应学生用书第51页) ■核心知识储备???????????????????????????· 已知函数有零点(方程有根或图象有交点)求参数的值或取值范围常用的方法： ①直接法：直接根据题设条件构建关于参数的方程或不等式，再通过解方程或不等式确定参数的值或取值范围． ②分离参数法：先将参数分离，转化成求函数最值问题加以解决． ③数形结合法：在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解． ■典题试解寻法???????????????????????????· 【典题1】 (考查已知函数的零点个数求参数范围)(2017·太原二模)已知f(x)＝xe，若函数g(x)＝f(x)－kf(x)＋1恰有四个零点，则实数k的取值范围是( ) A．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 2 2x?4e?B.?2，2＋? ?e4??4e?D．?2＋，＋∞? ?e4? 2 2 ?8?C.?2，2? ?e? 2x求f′?x?令f?x?＝t[思路分析] f(x)＝xe―――――→画f(x)的图象――――――→g(x)有四个零点 数形结合等价转化二次函数根的分布4??4??2――――→方程t－kt＋1＝0在?0，2?和?2，＋∞?各有1解――――――――→实数k?e??e?的取值范围． 4