方程 x2－5x＋6＝0 x2＋3x－10＝0 问题：你发现什么规律？ ①用语言叙述你发现的规律；

x1 2 2 x2 3 －5 x1＋x2 5 －3 x1x2 6 －10 答：两根之和为一次项系数的相反数；两根之积为常数项． ②x2＋px＋q＝0的两根x1，x2用式子表示你发现的规律. 答：x1＋x2＝－p，x1x2＝q. 自学2：完成下表： 方程 2x2－3x－2＝0 3x2－4x＋1＝0 x1 2 1 3x2 1－ 21 x1＋x2 3 24 3x1x2 －1 1 3问题：上面发现的结论在这里成立吗？(不成立) 请完善规律：

①用语言叙述发现的规律；

答：两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积为常数项与二次项系数之比．

②ax2＋bx＋c＝0的两根x1，x2用式子表示你发现的规律． bc

答：x1＋x2＝－，x1x2＝. aa

自学3：利用求根公式推导根与系数的关系．(韦达定理)

－b＋b2－4ac－b－b2－4acax＋bx＋c＝0的两根x1＝____，x2＝____．

2a2a2

bc

x1＋x2＝－，x1x2＝.

aa

二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟) 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两根之和与两根之积． (1)x2－3x－1＝0 ； (2)2x2＋3x－5＝0； 1

(3)x2－2x＝0. 3

解：(1)x1＋x2＝3，x1x2＝－1；

35

(2)x1＋x2＝－，x1x2＝－；

22(3)x1＋x2＝6，x1x2＝0.

一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟)

1．不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积． (1)x2－6x－15＝0; (2)3x2＋7x－9＝0； (3)5x－1＝4x2.

解：(1)x1＋x2＝6，x1x2＝－15； 7

(2)x1＋x2＝－，x1x2＝－3；

351

(3)x1＋x2＝，x1x2＝. 44

点拨精讲：先将方程化为一般形式，找对a，b，c.

2．已知方程2x2＋kx－9＝0的一个根是－3，求另一根及k的值． 3

解：另一根为，k＝3.

2

点拨精讲：本题有两种解法，一种是根据根的定义，将x＝－3代入方程先求k，再求另一个根；一种是利用根与系数的关系解答．

3．已知α，β是方程x2－3x－5＝0的两根，不解方程，求下列代数式的值． 11

(1)＋； (2)α2＋β2； (3)α－β. αβ3

解：(1)－；(2)19；(3)29或－29.

5

二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟) 1．不解方程，求下列方程的两根和与两根积： (1)x2－3x＝15; (2)5x2－1＝4x2； (3)x2－3x＋2＝10; (4)4x2－144＝0. 解：(1)x1＋x2＝3，x1x2＝－15； (2)x1＋x2＝0，x1x2＝－1； (3)x1＋x2＝3，x1x2＝－8； (4)x1＋x2＝0，x1x2＝－36.

2．两根均为负数的一元二次方程是( C )

A．7x2－12x＋5＝0 B．6x2－13x－5＝0 C．4x2＋21x＋5＝0 D．x2＋15x－8＝0

点拨精讲：两根均为负数的一元二次方程根与系数的关系满足两根之和为负数，两根之积为正数．

学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)

不解方程，根据一元二次方程根与系数的关系和已知条件结合，可求得一些代数式的值；求得方程的另一根和方程中的待定系数的值．

1．先化成一般形式，再确定a，b，c.

2．当且仅当b2－4ac≥0时，才能应用根与系数的关系．

bc

3．要注意比的符号：x1＋x2＝－(比前面有负号)，x1x2＝(比前面没有负号)．

aa

学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)

21．3 实际问题与一元二次方程(1)

1．会根据具体问题(按一定传播速度传播的问题、数字问题等)中的数量关系列一元二次方程并求解．

2．能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理． 3．进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键．

重点：列一元二次方程解决实际问题． 难点：找出实际问题中的等量关系．

一、自学指导．(12分钟)

问题1：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？

分析：

①设每轮传染中平均一个人传染了x个人，那么患流感的这一个人在第一轮中传染了__x__人，第一轮后共有__(x＋1)__人患了流感；

②第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了__x__人，第二轮后共有__(x＋1)(x＋1)__人患了流感．

则列方程： __(x＋1)2＝121__，

解得__x＝10或x＝－12(舍)__， 即平均一个人传染了__10__个人．

再思考：如果按照这样的传染速度，三轮后有多少人患流感？

问题2：一个两位数，它的两个数字之和为6，把这两个数字交换位置后所得的两位数与原两位数的积是1008，求原来的两位数．

分析：设原来的两位数的个位数字为__x__，则十位数字为__(6－x)__，则原两位数为__10(6－x)＋x，新两位数为__10x＋(6－x)__．依题意可列方程：[10(6－x)＋x][10x＋(6－x)]＝1008__，

解得 x1＝__2__，x2＝__4__，∴原来的两位数为24或42.

二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)

某初中毕业班的每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了2550张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为( )

A．x(x＋1)＝2550 B．x(x－1)＝2550 C．2x(x＋1)＝2550 D．x(x－1)＝2550×2

分析：由题意，每一个同学都将向全班其他同学各送一张相片，则每人送出(x－1)张相片，全班共送出x(x－1)张相片，可列方程为x(x－1)＝2550. 故选B.

一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)

1．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支？

解：设每个支干长出x个小分支，则有1＋x＋x2＝91， 即x2＋x－90＝0，

解得x1＝9，x2＝－10(舍去)， 故每个支干长出9个小分支． 点拨精讲：本例与传染问题的区别．