二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：当b2－4ac>0时，抛物线与x轴有两个交点；当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点；当b2－4ac<0时，抛物线与x轴有0个交点．这对应着一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的三种情况：有两个不等的实数根，有两个相等实数根，没有实数根．

二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)

1．观察图中的抛物线与x轴的交点情况，你能得出相应方程的根吗？ 方程x2＋x－2＝0的根是：x1＝－2，x2＝1； 方程x2－6x＋9＝0的根是：x1＝x2＝3； 方程x2－x＋1＝0的根是：无实根． 2．如图所示，你能直观看出哪些方程的根？

点拨精讲：此题充分利用二次函数与一元二次方程之间的关系，即函数y＝－x2＋2x＋3中，y为某一确定值m(如4，3，0)时，相应x值是方程－x2＋2x＋3＝m(m＝4，3，0)的根．

错误! 错误!,第3题图)

3．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则关于x的方程ax2＋bx＋c－3＝0的根是x1＝x2＝1．

一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(6分钟)

探究 已知二次函数y＝2x2－(4k＋1)x＋2k2－1的图象与x轴交于两点．求k的取值范围．

解：根据题意知b2－4ac>0， 即[－(4k＋1)]2－4×2×(2k2－1)>0，

9

解得k>－. 8

点拨精讲：根据交点的个数来确定判别式的范围是解题关键，要熟悉它们之间的对应关系．

二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(12分钟) 1．抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的公共点是(－2，0)，(4，0)，抛物线的对称轴是x＝1． 点拨精讲：根据对称性来求．

2．画出函数y＝x2－2x＋3的图象，利用图象回答： (1)方程x2－2x＋3＝0的解是什么？ (2)x取什么值时，函数值大于0? (3)x取什么值时，函数值小于0?

点拨精讲：x2－2x＋3＝0的解，即求二次函数y＝x2－2x＋3中函数值y＝0时自变量x的值．

3．用函数的图象求下列方程的解． (1)x2－3x＋1＝0； (2)x2－6x－9＝0； (3)x2＋x－2＝0; (4)2－x－x2＝0.

点拨精讲：(3分钟)：本节课所学知识：1.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与一元二次方程之间的关系，当y为某一确定值m时，相应的自变量x的值就是方程ax2＋bx＋c＝m的根．

2．若抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交点为(x0，0)，则x0是方程ax2＋bx＋c＝0的根． 3．有下列对应关系： 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的位置关系 有两个公共点 只有一个公共点 无公共点 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 无实数根 b2－4ac>0 b2－4ac＝0 b2－4ac<0 b2－4ac的值 学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)

学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)

22．2 二次函数与一元二次方程(2)

1．会利用二次函数的图象求对应一元二次方程的近似解． 2．熟练掌握函数与方程的综合应用．

3．能利用函数知识解决一些简单的实际问题．

重点：根据函数图象观察方程的解和不等式的解集．

难点：观察抛物线与直线相交后的函数值、自变量的变化情况．

一、自学指导．(10分钟)

自学：自学课本P46.理解二次函数与一元二次方程的关系，会判断抛物线与x轴的交点情况，会利用二次函数的图象求对应一元二次方程的近似解，完成填空．

总结归纳：抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点坐标实质上是抛物线与直线y＝0组成

??x＝0，

的方程组的解；抛物线y＝ax＋bx＋c与y轴的交点坐标实质上是?的解；抛2

?y＝ax＋bx＋c?

2

??y＝kx＋b，物线y＝ax＋bx＋c与直线的交点坐标实质上是?的解． 2

??y＝ax＋bx＋c

2

二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(7分钟)

1．若二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，则k的取值范围为( D ) A．k＜4 B．k≤4 C．k＜4且k≠3 D．k≤4且k≠3

2．已知二次函数y＝x2－2ax＋(b＋c)2，其中a，b，c是△ABC的边长，则此二次函数图象与x轴的交点情况是( A )

A．无交点 B．有一个交点

C．有两个交点 D．交点个数无法确定

3．若二次函数y＝x2＋mx＋m－3的图象与x轴交于A，B两点，则A，B两点的距离的最小值是( C )

A．23 B．0

C．22 D．无法确定

一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(13分钟)

探究1 将抛物线y＝x2＋2x－4向右平移2个单位，又向上平移3个单位，最后绕顶点旋转180°.(1)求变换后新抛物线对应的函数解析式；(2)若这个新抛物线的顶点坐标恰为x的整式方程x2－(4m＋n)x＋3m2－2n＝0的两根，求m，n的值．

解：(1)y＝x2＋2x－4＝(x＋1)2－5，

由题意可得平移旋转后的抛物线解析式为y＝－(x－1)2－2＝－x2＋2x－3；

(2)该抛物线顶点坐标为(1，－2)，设方程两根分别为x1，x2，则有x1＋x2＝4m＋n＝－

?4m＋n＝－1，

1，x1·x2＝3m－2n＝－2，即?2

?3m－2n＝－2，

2

?m＝－3，?

?m＝－2，

解得?或?

5?n＝7.?

?n＝3

1

2

1

2

2点拨精讲：熟练运用二次函数平移规律解决问题，二次函数与一元二次方程的转化，以及运用一元二次方程根与系数的关系也是解决问题的常用之法．

探究2 如图是抛物线y＝ax2＋bx＋c的一部分，其对称轴为直线x＝1，若其与x轴一交点为(3，0)，则由图象可知，不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是x＞3或x＜－1．

二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟) 1．若二次函数y＝ax2－x＋c的图象在x轴的下方，则a，c满足关系为( A ) A．a＜0且4ac＞1 B．a＜0且4ac＜1 C．a＜0且4ac≥1 D．a＜0且4ac≤1