提取更多有用的信息，使网络可以完成更复杂的任务.
（2）多层感知器中每个神经元的激励函数是可微的Sigmoid函数，如
vi?1 （2-8）
1?exp?(ui)式中ui是第i个神经元的输入信号，vi是该神经元的输出信号.
（3）多层感知器具有独特的多个突触使得网络更具有连通性，联接域的变化或权
值的变化都会引起连通性的变化.
（4）多层感知器具有独特的学习算法（BP算法），所以多层感知器也常常称之为BP网络.
多层感知器的这些特点，使它具有强大的计算能力.多层感知器是目前应用最广泛的一种神经网络.
2.3.2 BP学习算法
20世纪80年代中期，美国加利福尼亚的PDP（parallel distributed procession）小组于1986年发表了Parallel Distributed Procession一书，该书的出版对BP算法产生了重要的影响.BP算法解决了多层感知器的学习问题，促进了神经网络的发展.
1. BP学习过程的描述
（1）工作信号的传播：输入信号从输入层经隐单元，传向输出层，在传出端产生输出信号，这是工作信号的正向传播.在信号的向前传递过程中网络的权值是固定不变的，每一层神经元的状态只影响下一层神经元的状态.如果在输出层不能得到期望的输出，则输入误差信号反向传播.
（2）误差信号反向传播：网络的实际输出与期望输出之间的差值即为误差信号，误差信号由输出端开始逐层向前传播，这是误差信号是反向传播.在传播的过程中，网络的权值由误差反馈进行调节.通过权值的不断修正使网络的实际输出更接近期望输出.
工作信号误差信号
图2-6 工作信号正向传播，误差信号反向传播
图2-6为多层感知器的一部分，其中有两种信号：一是工作信号，工作信号正向传播；二是误差信号，误差信号反向传播.
下面以含有两个隐层的BP网络为例，如图2-7所示，具体推导BP算法.
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wijx1x2wjpy1y2?????ypxm?xM????ypi?(1,2,?,I)j?(1,2,?,J)
图2-7 含有二个隐含层的BP网络
设输入层位M，即有M个输入信号，其中的任一输入信号用m表示：第1隐层为I，即有I个神经元，其中的任何一个神经元用i表示；第二层为J,即有J个神经元，其中任一神经元用j表示，输出层为p，即有p个输出神经元，其中任一神经元用p表示.
输入层与第一隐层的突触权值用wmi表示；第1隐层与第2隐层的突触权值用wij表示；第2隐层与输出层用的突触权值用wjp表示.
神经元的输入用u表示，激励输出用v表示，u，v的上标表示层，下标表示层中的某个神经元，如uiIA表示I层（即第1层）的第i个神经元输入.设所有的神经元的激励函数均用Sigmoid函数.设训练样本集为X??X1,X2,?,Xk,?,XN?，对应任一训练样本Xk??xk1,xk2,?,xkM?，?k?1,2,?,N?的实际输出为Yk?yk1,yk2,?,ykpT??T，
期望输出为dk?[dk1,dk2,?,dkp]T.设n为迭代次数，权值和实际输出是n的函数.
网络输入训练样本Xk，由工作信号的正向传播可得：
?M?u??wmixkm v?f??wmixkm? i?1,2,?,I
m?1?m?1??I?J vj?f??wijviI? j?1,2,?,J
?i?1?J?J?PIPJ?,2,?,P up??wijvi vp?f?wv?jpj? p?1?j?1?j?1??J?PPJ?ykp?vp?fup?f??wjpvj?? p?1,2,?,P ?j?1?输出层第p个神经元的误差信号为ekp?dkp?n??ykp?n?
IiMIi??12?n?，则输出层所有神经元的误差能量总和为E?n?：定义神经元p的误差能量为ekp 21P2 E?n???ekp?n? （2-9）
2p?1误差信号从后向前传递，在反向传播的过程中，逐层修改联接权值.下面计算误差
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信号的反向传播过程：
（1）隐层J与输出层P之间的权值修正量.BP算法中权值的修正量与误差绝对值的偏微分成正比，即：
?E?n??wjp?n?? ?wjp?n?因为
P?E?n??E?n??ekp?n??ykp?n??up?n????P? ?wjp?n??ekp?n??ykp?n??up?n??yjp?n?又
?E?n??ekp?n?，??1，?ekp?n????ykpn则
?ekp?n??ykp?n??uPp?n??f'u??n??，?yPpP?n??upjp?n??vJj?n?
?E?n?P?n?vJj?n? ??ekp?n?f'up?wjp?n???设局部梯度
P ?p??E?n? （2-10） P?n??upP ?f'up?n?ekp?n?
??当激励函数为逻辑函数，即
f(x)?1,a?0;???x??
1?exp(?ax)PP?n?1?vp?n??ykp?n??1?ykp?n?? ?vp从而有
f'u?n??Pp??P?n??vp?u?n?Pp??则
?ykp?n??1?ykp?n???dp(n)?ykp(n)? （2-11） 根据Delta学习规则，wjp(n)的修正量为
wjp(n)???P?n??ykp?n??1?ykp?n??ekp?n? ?p?E(n) （2-12）
?wjp(n)P??E(n)??up(n)? ????P
??u(n)??wjp(n)p??P ???p(n)vJj(n)
P式中，?是学习步长，?p(n)可由式（2-11）求得，vJj(n)可由正向传播求得.则下一次
的迭代时隐层J上任一节点与输出层P上任一节点之间的权值为
wjp(n?1)?wjp(n)??wjp(n) （2-13）
（2）隐层I与隐层J之间的权值修正量：
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J?E(n)?E(n)?uj(n)???wij(n)?uJ?wij(n)(n)j
?与式（2-14）相类似，局部梯度为
?E(n)I?vi(n)J?uj(n) （2-14）
?jJ(n)???E(n) （2-15）
?uJ(n)jJ?E(n)?vj(n)? ??J ?vj(n)?uJ(n)j因为
?vJj(n)?uJj(n)?f'(uJj(n)) （2-16）
1P2E(n)??ekp(n)
2p?1P?ekp(n)?E(n) ??ekp(n)?JJ?vj(n)p?1?vj(n)P?ekp(n)?up(n)?J ??ekp(n)?P
?u(n)?v(n)p?1pjPP又 ekp(n)?dkp(n)?ykp(n)?dkp(n)?f(up(n))
?ekp(n)?u(n)Pp??f'(u(n)),PpP?up(n)?v(n)Jj?wjp(n)
则
P?E(n)P J???ekp(n)?f'(up(n))?wjp(n) （2-17）
?vj(n)p?1由式（2-15）和式（2-17）得
P??f'(u(n))?f'(up(n))?wjp(n) JjJjp?1P将式（2-10）代入上式得
P ??f'(u(n))??p(n)?wjp(n) （2-18）
JjJjp?1PP式中?p(n)可由式（2-11）求得，f'(uJj(n))??vJj(n)?u(n)Jj?vJ1?vJj(n)(j(n)).wjp(n)为隐含层
J与输出层P任一节点之间的权值，已由式（2-13）求得.
所以
?wij(n)???iI(n)viI(n) （2-19）
则下一次迭代时，隐层I上任一节点与隐层J上任一节点之间的权值为
wij(n?1)?wij(n)??wij(n) （2-20） （3）与隐层I和隐层J之间的权值修正量的推导方法相同，输入层M上任一节点与
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