习题

1. 设随机过程{X(t,?),???t???}只有两条样本函数

X(t,?1)?2cost,X(t,?2)??2cost,???x???

21且P(?1)?,P(?2)?，分别求：

33（1）一维分布函数F(0,x)和F(,x)；

4（2）二维分布函数F(0,;x,y)；

4（3）均值函数mX(t)； （4）协方差函数CX(s,t).

2. 利用抛掷一枚硬币一次的随机试验，定义随机过程

?cos?t出现正面?1X(t)??

2出现反面??2??且“出现正面”与“出现反面”的概率相等，各为1）画出{X(t)}的样本函数

1，求 212）{X(t)}的一维概率分布，F(;x)和F(1;x)

213）{X(t)}的二维概率分布F(,1;x1,x2)

23. 通过连续重复抛掷一枚硬币确定随机过程{X(t)}

?cos?tX(t)???2在t时刻抛掷硬币出现正面

在t时刻抛掷硬币出现反面11求：（1）F(,x),F(1,x)； （2）F(,1;x1,x2)

224. 考虑正弦波过程{X(t),t?0}，X(t)??cos?t，其中?为正常数，?~U(0,1).

（1）分别求t???3??,,,时X(t)的概率密度f(t,x). 4?2?4??（2）求均值函数m(t)，方差函数D(t)，相关函数R(s,t)，协方差函数C(s,t). 5. 给定随机过程：

X(t)????t (???t???)

?13?其中r. v. (?,?)的协方差矩阵为C??求随机过程{X(t),???t???}的协方差函?，

34??数.

6. 考虑随机游动{Y(n),n?0,1,2,?}

Y(n)??X(k),n?1,2,?,Y(0)?0

k?1n其中X(k)(k?0,1,2,?)是相互独立同服从N(0,?2)的正态随机变量. 试求： （1）Y(n)的概率密度；

（2）(Y(n),Y(m))的联合概率密度（m?n）.

7. 给定随机过程{X(t),t?T}，定义另一个随机过程：

?1,X(t)?x, Y(t)??0,X(t)?x.?试证：{Y(t),t?T}的均值和自相关函数分别为{X(t),t?T}的一维分布函数和二维分布函数. 8. 设随机过程

X(t)?Acos(?t??)

其中?为正常数，r. v. A~N(0,1),?~U(0,2?)二者相互独立. 试求随机过程

{X(t)?,??t??的?}均值函数m(t)、方差函数D(t)和相关函数R(s,t). 9. 已知随机变量?,?相互独立都服从正态分布N(0,?2)，分别设：

（1）X(t)??t??；

（2）X(t)??cost，

令Z?maxX(t)，分别两种情形求E(Z).

0?t?110. 一个通讯系统，以每T秒为一周期输出一个幅度为A的信号，A为常数，信号输出时间

Xi~U(0,T)，且持续到周期结束，设每个信号的输出时间Xi相互独立，设Y(t)为t时

刻接收到的信号幅度，求{Y(t)}的一维概率分布。

11. 一个通讯系统，每隔T秒信号源输出一个宽为X的矩形脉冲，其中r. v. X~U(0,T)，

并假定不同时间间隔脉冲宽度的取值是相互独立的，能传送的这类信号称为脉冲调制信号. 设Y(t),t?0，表示脉冲宽度调制信号在t时间幅度{Y(t),t?0}是一个随机过程，它的一个样本函数如图2.3所示. 试求Y(t)的一维分布.

Y(t) A X1 O T X2 X3 2T 图2.3 X4 3T t 12. 一个通讯系统，以每T秒为一周期输出一个幅度为A的信号，A为常数，每个周期内信

5T号输出时间Xi~U(0,T)，持续时间Zi~U(0,)，Xi,Zi相互独立，且输出时间Xi相

66互独立，持续时间Zi也相互独立，证Y(t)为t时刻接收到的信号幅度，求{Y(t)}的一维概率分布。

13. 一脉冲位置调置信号Y(t)，其幅度为A，??U(0,T)，?与Y(t)相互独立，设

Z(t)?Y(t??)，求（1）Z(t)的一维概率分布；（2）{Z(t)}的均值函数和自相关函数.

?服从柯西分布，14. 设X(t)?acos(?t??)其中a为常数，即f?(x)?1,(???t???)

?(1?x2)?~U(0,2?)，?,?相互独立. 求该过程均值函数mX(t)，协方差函数C(s,t).

15. 设X(t)??cos(?t??)，其中?为正常数，随机变量?服从瑞利分布：

?x?x2?e2?,x?0f?(x)???2,??0

?0,x?0?2?~U(0,2?)，?与?相互独立. 试求随机过程{X(t),???t???}的均值函数mX(t)，协

方差函数CX(s,t).

16. （半随机二元波） 设{X(t),???t???}在每个长度为T的区间[(n?1)T,nT]，

n?0,?1,?2,?，取值+1或?1，且

1P{X(t)?1}?P{X(t)??1}?,(n?1)T?t?nT

2且在不同区间的取值是独立的.求{X(t),???t???}的均值函数和自相关函数。