板上松落，天花板与升降机的底面相距3m，则螺丝从天花板落到底面所需要的时间为秒。

【提示：考虑螺丝作初速为0，加速度为9.8+2.2=12m/s的自由落体运动，则t?2h1?g'2】

3．一物体作如图所示的斜抛运动，测得在轨道P点处速度大小为?，其方向与水平方向成30°角。则物体在P点的切向加速度

P?v30?at?，轨道的曲率半径??。

【提示：只要是抛体运动，加速度就一定是竖直向下的重力加速度。考虑自然

坐标系at?acos?（?为切向和a之间的夹角）和???2an，有at??gsin30，an?gcos30】

4．试说明质点作何种运动时，将出现下述各种情况（v≠0）： （A）at?0，an?0；； （B）at?0，an?0；； （C）at?0，an?0；。

【提示：（A）变速曲线运动；（B）变速直线运动；（C）匀速曲线运动】

5．一质点作直线运动，其坐标与时间的关系如图所示， 则该质点在第 秒时瞬时速度为零；在第秒 至第秒间速度与加速度同方向。

Ox/m123456t/s【提示：由于速度是曲线的斜率，所以第3秒时斜率为零也就是瞬时速度为零；从第1秒到第3秒，斜率为正，但逐渐变小，表明速度为正但加速度为负，从第3秒到第6秒，斜率为负且逐渐负方向增加，表明速度为负且加速度为负】

6．一质点沿半径为0.2m的圆周运动, 其角位置随时间的变化规律是??6?5t（SI制）。在t?2时，它的法向加速度an?；切向加速度at?。

2d?【由??dtRd?知??dt，再利用公式an??2R和at?d?dt可得an?80m/s2，at?2m/s2】

7．在xy平面内有一运动质点，其运动学方程为：r?10cos5ti?10sin5tj，则t时刻其速度v?；其切向加速度的大小at? ；该质点的运动轨迹是： 。

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【∵??drdt有???50sin5ti?50cos5tj；而??(?50sin5t)2?(50cos5t)2?50（与

时间无关），∴切向加速度at?x?10cos5t22?0；运动轨迹由?消去时间求得：x?y?0】

?y?10sin5t8．悬挂在弹簧上的物体在竖直方向上振动,振动方程为y?Asin?t，其中A、?均为常量,则：(1) 物体的速度与时间的函数关系为；(2) 物体的速度与坐标的函数关系为。

【提示：由?(t)?dy22有?(t)?A?cos?t，与振动方程联立有：?(y)??A?ydt】

1--4．在x轴上作变加速直线运动的质点,已知其初速度为?0，初始位置为x0，加速度为

a?Ct2(其中C为常量)，则其速度与时间的关系?(t)?，运动方程为x(t)?。

【提示：利用积分。

???0d???Ct2dt，有?(t)??0?0txtC31t，在由?dx??(?0?Ct3)dt有

x0033C4t】 1210．灯距地面高度为h1,一个人身高为h2, x(t)?x0??0t?在灯下以匀速率v沿水平直线行走, 如图 所示。则他的头顶在地上的影子M点沿 地面移动的速度vm?。

【由三角形相似有

h1h2 Mh1x?x?vth2，两边对时间求导，考虑到?m?h1dx??有m?dth1?h2】

11．如图示，一质点P从O点出发以匀速率1m/s作顺时针 转向的圆周运动，圆的半径为1m，当它走过

2圆周时， 3?y走过的路程是；这段时间内的平均速度大小为； 方向是。

【由于圆的半径为1m，所以走过的路程（弧长）即为对应的角度，为

P4?3?Ox（240）；平均速度却为位

移与时间的比值，位移大小为度方向

3，用去时间为4?3，则??33m/s；从图中不难看出，平均速4?与y成30角向右下方】

12．一质点沿半径为R的圆周运动，在t = 0时以v0的速率经过圆周上的P点， 此后它的速率按???0?bt(?0、b为正的已知常量)变化，则质点沿圆周运动一周再经过P点时的切向加速度at?；法向加速度an?。

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2dv?【利用公式at?和an?dtR2(?0?bt)2?0?2?0bt?b2t2可得at?b；an?，考虑到运动??RRR?2?0212?4?b】 一周的时间可由2?R??0t?bt得出，代入上式得an?R213．以一定初速度斜向上抛出一个物体，如果忽略空气阻力，当该物体的速度v与水平面的夹角为?时，它的切向加速度的大小为at?，法向加速度的大小为an?。

【见填空第3题提示，得：?gsin?和gcos?】

三、计算题

1-14．一石块从空中由静止下落，由于空气阻力，石块并非作自由落体运动，现已知加速度为a?A－Bv（式中A、B为常量），求石块的速度和运动方程。

1-22．一质点沿半径为R的圆周按规律s?v0t?12（1）求tbt而运动，v0，b都是常数。

2时刻质点总的加速度；（2）t为何值时在数值上等于b？（3）当加速度达到b时，质点已沿圆周运行了多少周？

3．在离地面高度为h的平台，有人用绳子拉小车，当人的速率v0匀速时，试求小车的速率和加速度大小。

xhls?01--6．已知子弹的轨迹为抛物线，初速为v0，并且v0与水平面的夹角为?。试分别求出抛物线顶点及落地点的曲率半径。 y vxv0

x ?? gv0 an g

5．质点P在水平面内沿一半径为R=1m的圆轨道转动，转动的角速度ω与时间t的函数关系为ω=kt2，已知t=2s时，质点P的速率为16m/s，试求t=1s时，质点P的速率与加速度的大小。

1-20．一直立的雨伞，张开后其边缘圆周半径为R，离地面的高度为h，当伞绕伞柄以匀角速ω旋转时，求证水滴沿边缘飞出后落在地面上半径为r?R1?2h?/g的圆周上。

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1-24．一质点在半径为0.10 m的圆周上运动，其角位置为??2?4t。（1）求t=2.0 s时质点的法向加速度和切向加速度；（2）当切向加速度的大小恰等于总加速度大小的一半时，θ值为多少？（3）t为何值时，法向加速度和切向加速度的值相等？

3解答

一、选择题

1．C2．D3．(1)B(2)B4．D5．C6．C7．B8．D9．D10．D 11．B12．B13．C14．B15．D16．D17．C 三、计算题 1．

解：（1）选石块静止处为原点，竖直向下方向为y正向。 由a?dvdvdvdv有A?Bv?，则dt?， ??dt??dtdt(A?Bv)A?Bv1lnA?Bv?C。 B1A考虑到t?0时，v0?0，有C?lnA，∴石块的速度为v?(1?e?Bt)；

BB积分有t??（2）由v?dydt有dy?A(1?e?Bt)dt，则：石块的运动方程为： By?AtA1?BttAA?Bt?Bt(1?e)dt?(t?e)?t?(e?1)。 2?00BBBBBy?AAt?2(e?Bt?1) BB?ds?v0?bt（注意圆周方程中是“s”而不是“r”） dt∴石块的运动方程为

2．

解：（1）对圆周方程求导得速度大小：vdv?a???bt??dt可利用自然坐标系得切向和法向加速度： ?22?a?v?(v0?bt)n??RR

(v0?bt)4则总的加速度： a?a?a?b?R22t2n2；

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