双曲线
双曲线是圆锥曲线的一种，即双曲线是圆锥面与平行于轴的平面相截而得的曲线。
双曲线有两个定义，一是与平面上两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹，二是到定点与定直线的距离之比是一个大于1的常数的点之轨迹。 一、双曲线的定义 ①双曲线的第一定义
一动点移动于一个平面上，与该平面上两个定点F1、F2的距离之差的绝对值始终为一定值2a(2a小于F1和F2之间的距离即2a<2c）时所成的轨迹叫做双曲线。
取过两个定点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立直角坐标系。
设M(x，y)为双曲线上任意一点，那么F1、F2的坐标分别是(-c，0)、(c，0)．又设点M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a。
将这个方程移项，两边平方得：
两边再平方，整理得：c?ax?ay?ac?a2
2
?22?2222?22?
22由双曲线定义，2c＞2a 即c＞a，所以c-a＞0．设c?a?b (b＞0)，代入上式得：
2x2y2双曲线的标准方程：2?2?1
ab两个定点F1,F2叫做双曲线的左，右焦点。两焦点的距离叫焦距，长度为2c。坐标轴上的端点叫做顶点，其中2a为双曲线的实轴长，2b为双曲线的虚轴长。 实轴长、虚轴长、焦距间的关系：c?a?b，
②双曲线的第二定义
222
x2y2222与椭圆的方法类似：对于双曲线的标准方程：2?2?1，我们将c?a?b代入，
ab可得：
y2??x?c?a2x?c?c a所以有：双曲线的第二定义可描述为：
a2 平面内一个动点（x,y）到定点F(?c,0)的距离与到定直线l(x??)的距离之比为常数
cce??c?a?0?的点的轨迹是双曲线，其中，定点F叫做双曲线的焦点，定直线l叫做双曲线的准线，常
a数e是双曲线的离心率。 1、离心率：
（1）定义：双曲线的焦距与实轴长的比e?（2）范围：e?1；
（3）双曲线形状与e的关系：
2cc?，叫做双曲线的离心率； 2aaybc2?a2c22k????1?e?1； 2aaaF1A1OA2F2x
因此e越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔；
（1）双曲线的形状张口随着渐近线的位置变化而变化； （2）渐近线的位置(倾斜)情况又受到其斜率制约； 2、准线方程：
x2y2a2对于2?2?1来说，相对于左焦点F1(?c,0)对应着左准线l1:x??，相对于右焦点F2(c,0)对应
caba2着右准线l2:x?；
ca2b2?0，焦点到准线的距离p?位置关系：x?a?（也叫焦参数）； ccy2x2a2对于2?2?1来说，相对于下焦点F1(0,?c)对应着下准线l1:y??；相对于上焦点F2(0,c)对应着上
caba2准线l2:y?。
cyyF2A2F1A1OA2F2xOxA1F1
3、双曲线的焦半径：
双曲线上任意一点M与双曲线焦点F1、F2的连线段，叫做双曲线的焦半径。
x2y2设双曲线2?2?1 (a?0,b?0)，F1,F2是其左右焦点，
abMF1MF1?e，∴MF1?a?ex0；同理 MF2?a?ex0； ?e， ∴2d1ax0?c即：焦点在x轴上的双曲线的焦半径公式：其中F1、F2分别是双曲线的左（下）、右（上）焦点
?MF1?a?ex0 ????MF2?a?ex0同理：焦点在y轴上的双曲线的焦半径公式： ?MF1?a?ey0????MF2?a?ey0
二、双曲线的性质
1、轨迹上一点的取值范围：x?a或x??a（焦点在x轴上）或者y?a或y??a（焦点在y轴上）。
2、对称性：关于坐标轴和原点对称。
3、顶点：A(-a,0)， A＇(a,0)。同时 AA＇叫做双曲线的实轴且∣AA＇│=2a； B(0,-b)， B＇(0,b)。同时 BB＇叫做双曲线的虚轴且│BB＇│=2b。
4、渐近线：
ybx2y2y2b2b2由2?2?1?2?2??2，当x??,y??时，??所以：双曲线的渐近线方程为：
xaabxaxbb 焦点在x轴：y??x，焦点在y轴：x??y
aa 5、双曲线焦半径公式：（圆锥曲线上任意一点P(x,y)到焦点距离） 右焦半径：r=│ex-a│ 左焦半径：r=│ex+a│
6、共轭双曲线
x2y2y2x2?2?1 (a?0,b?0) 双曲线S: 2?2?1 (a?0,b?0)，双曲线 s?:2abba 双曲线S＇的实轴是双曲线S的虚轴 且双曲线S＇的虚轴是双曲线S的实轴时，称双曲线S＇与双曲线S为共轭双曲线。 特点： （1）共渐近线 （2）焦距相等
（3）两双曲线的离心率平方后的倒数相加等于1
7. 焦点到一条渐近线的距离
特别如图2可知：双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于半短轴长．这个性质很重要． 三、例题求解：
bx2y2例1：已知双曲线2?2?1 (a?0,b?0)的渐近线是y??x，我们可以判断直线y?kx?m与
aab双曲线的交点个数
①当直线y?kx?m的斜率k?果
b
时，如果a
，显然它就是渐近线，与双曲线没有任何交点，如
，则它与双曲线有一个只有一个交点。 ②当直线y?kx?m的斜率k????bb?,?时，则y?kx?m与双曲线有两个交点。 ?aa?b??b????，??时，则y?kx?m与与双曲线没有交点 a??a?有两个不同的交点，试确定
的范围．
③当直线y?kx?m的斜率k????,???例2 已知直线
与双曲线
x2y2例3 已知双曲线2?2?1 (a?0,b?0)的焦点到渐近线的距离是其顶点到原点距离是2倍，则
ab有双曲线的离心率是
22x?y?1的一弦中点为（2，1），则此弦所在的直线方程为 （ ） 例4双曲线