5…………………6分 13????6?1?f?3??2???2sin??3??2?????2sin?????2cos??

6?2?5?3?3?cos??…………………7分

5???Q?，????,0?

?2??sin????5?12?cos??1?sin2??1?????…………………9分

13?13?4?3?sin???1?cos2???1?????…………………10分

5?5?123?5??4?16?cos??????cos?cos??sin?sin????????????………………12

135?13??5?65分

17、解：?1?众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于1025（克） …………………2分

22?2?从图中可知，重量在?950,1000?的柚子数n1??1000?950??0.004?100?20（个）

…………………3分

重量在?1050,1100?的柚子数n2??1100?1050??0.006?100?30（个）…………4分 从符合条件的柚子中抽取5个，其中重量在?1000,1050?的个数为

n?55?n2??30?3 （个）…………………6分

n1?n250?3?由?2?知，重量在?1050,1100?的柚子个数为3个，设为a，b，c，重量在?950,1000?的柚子个数为2个，设为d，e．…………………7分

在?2?中抽出的5个柚子中，任取2个，有10种，分别是?a,b?，?a,c?，?a,d?，?a,e?，?b,c?，

?b,d?，?b,e?，?c,d?，?c,e?，?d,e?…………………9分

重量在?1050,1100?的柚子最多有1个，有7种，分别是?a,d?，?a,e?，?b,d?，?b,e?，?c,d?，

?c,e?，?d,e?…………………11分

设事件??“重量在?1050,1100?的柚子最多有1个”，则?????答：重量在?1050,1100?的柚子最多有1个的概率是

7 107…………………12分 10- 5 -

18、?1?证明：∵?D?∴

33??，C??C? 44PDPE…………………1分 ?PBPC∴DE//BC…………………2分 又∵DE??平面ABC，BC?平面ABC ∴DE//平面ABC…………………3分

?2?证明：∵PA∴BC平面ABC，BC平面ABC，

PA…………………4分

o∵?ACB?90 ∴即BCAC…………………5分

又∵PAIAC?A

∴BC?平面PAC…………………7分

?3?∵ABC为等腰直角三角形，F是AB的中点

1AB?2 21∴?BCF的面积S?BCF?CF?BF?2…………………8分

2∴FC?AB,FC?过D作DG?AB于F，则DG//PA，

∴DG?平面ABC，且DG三棱锥D?BCF的高…………………9分

3?? 43∴DG?PA?3…………………10分

411∴三棱锥D?BCF的体积VD?BCF?S?BCF?DG??2?3?2

33又?D?…………………11分 又三棱锥P?ABC的体积

1111116VP?ABC?S?ABC.PA??AB?CF?PA???4?2?4?…………………13分

332323∴四棱锥C?AFDP的体积V?VP?ABC?VD?BCF?19、解：?1?Q5S1，S3，3S2成等差数列

1610?2?…………………14分 33?2S3?5S1?3S2………………1分

- 6 -

即2(aaq21?1q?a1)?5a1?3(a1?a1q)

化简得：2q2?q?6?0………………2分 解得：q?2或q??32………………3分 Q数列?an?的各项均为正数

?q??32不合题意………………4分

??an?的通项公式为：an?2n………………5分

?2?由bn?log2an得：bn?log22n?n………………6分

?c1n?b?11)?1n?1n?1………………7分 nbn?1n(n?T111111nn?1?2?2?3?LL?n?n?1?1?n?1?n?1………………8分 Q对?n???，?n?k?n?4?恒成立

?k?n?4??nn?1 ?k?nn1(n?1)(n?4)?n2?5n?4?………………11分n?4n?5?n?4n?5?2n?4n?5?9

当且仅当n?4n，即n?2时等号成立………………12分

?1?19………………13分

n?4n?5?k的取值范围是??1??9,????………………14分

20、解：?1?依题意：3a2?1

∴a?3…………………………………………1分

由e?ca?63，得c?2……………………………………………………2分 ∴b2?a2?c2?1…………………………………………………………………3分∴所求椭圆方程为x23?y2?1……………………………………………………4分?2?设M,N坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)

- 7 -

将y?kx?m代入椭圆方程，整理得：(3k?1)x?6kmx?3(m?1)?0…………………6分

∴??36km?12(3k?1)(m?1)?0（*） ……………………………………8分

2222222x1?x2??6km

3k2?1要令P(1,n)为M,N中点，则x1?x2?2

6km?2 23k?1?k?0

∴?3k2?1∴m?? ………………………………………………………………9分

3k2(3k2?1)2(3k?1)2?12(3k?1)[?1]?0……………10分 代入（*）得：36k?9k29k222(3k2?1)2?9k2(3k?1)?3??0 29k29k4?3k2?1(3k?1)??0

3k229k4?3k29k4?3k2?1??0 223k3k6k2?1?0…………12分

∴k?66或k??…………13分 6666)?(,??)……………………………………14分 66∴k的取值范围是(??,?1?x，定义域为?0,???………………1分 xa1x2?ax?1h??x???2?1?………………2分

xxx222令g?x??x?ax?1，判别式??a?4

21、解：?1?h?x??alnx?当??0，即?2?a?2时，g?x??0，h??x??0，此时h?x?在?0,???上单调递增 ………………4分

（注：如果是分开??0，??0，其讨论各占1分）

?a?a2?4?a?a2?4当??0，即a??2或a?2时，由g?x??0得：x1?，x2?

22

- 8 -

………………5分

若a?2，则x1?0，又x1x2?1?0，所以x2?0，故h??x??0在?0,???上恒成立 所以h?x?在?0,???上单调递增………………6分 若a??2，则x2?0，又x1x2?1?0，所以x1?0

此时，当x??0,x1?时，当x??x1,x2?时，当x??x2,???时，h??x??0，h??x??0，h??x??0 故h?x?在?0,x1?，?x2,???上单调递增，在?x1,x2?上单调递减………………7分 综上，当a??2时，h?x?在?0,???上单调递增；当a??2时，h?x?在?0,x1?，?x2,???上单调递增，在?x1,x2?上单调递减………………8分

（注：先不写定义域，但后续单调性中体现了定义域特征不扣分；没有“综上”这一整合过程扣1分）

1有唯一实根 x1显然a?0，则关于x的方程?xlnx有唯一实根………………10分

a构造函数??x??xlnx，则???x??1?lnx

?2?问题等价于alnx?由???x??1?lnx?0，得x?e

?1当0?x?e时，???x??0，??x?单调递减

?1当x?e时，???x??0，??x?单调递增

?1所以??x?的极小值为?e?1??e?1………………12分 如图，为函数??x?的图象，则要使一交点，则

??1?xlnx有唯一实根，只需直线y?a与y???x?有唯a11??e?1或?0 aa解得：a??e或a?0

故a的取值范围是a??e或a?0………………14分

（注：有分离思想，给2分，构造函数（有用）并求导正确给1分）

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