所以 PO?平面ABC

因为 PO?平面PAC ····················· 4分 所以 平面PAC?平面ABC 方法3：

设AC的中点为O，连接PO， 因为 在?PAC中，PA?PC， 所以 PO?··············· 1分 AC

PA QCO设AB的中点Q， 连接PQ，OQ及OB. 因为 在?OAB中，OA?OB，Q为AB的中点 所以 OQ?AB.

因为 在?PAB中，PA?PB，Q为AB的中点 所以 PQ?AB.

因为 PQIOQ?Q，PQ,OQ?平面OPQ 所以 AB?平面OPQ 因为 PO?平面OPQ

B所以 PO?AB ························ 2分 因为 ABIAC?A，AB,AC?平面ABC ············ 3分 所以 PO?平面ABC

因为 PO?平面PAC ····················· 4分

所以 平面PAC?平面ABC

法4：

设AC的中点为O，连接BO，PO.

因为 在?PAC中，PA?PC，O为AC的中点 所以 PO?············· 1分 AC，

PA

COB因为 在?ABC中，BA?BC，O为AC的中点 所以 BO?············· 2分 AC，

因为 POIBO?O，PO?平面PAC，BO?平面ABC，

所以∠POB为二面角P-AC-B的平面角。 ·············· 3分

因为 在?POB中，PO?1，OB?1，PB?2 所以 PO?OB ························ 4分 故二面角P-AC-B为直二面角，即平面PAC?平面ABC。

（Ⅱ）由PO?平面ABC，OB?AC，如图建立空间直角坐标系，则O(0,0,0)，C(1,0,0)，B(0,1,0)，A(?1,0,0)，

zPAB P(0,0,1)

5分

由OB?平面APC，

uuur故平面APC的法向量为OB?(0,1,0) ·· 6分

由BC?(1,?1,0)，PC?(1,0,?1)

xCOuuuruuuryuuurr?n?BC?0?x?y?0r 设平面PBC的法向量为n?(x,y,z)，则由?uuu得：?n?PC?0??x?z?0r令x?1，得y?1，z?1，即n?(1,1,1) ············· 7分

ruuurruuurn?OB13r?cos?n,OB??ruuu? ············· 8分

3|n|?|OB|3?1由二面角A?PC?B是锐二面角， 所以二面角A?PC?B的余弦值为3 ·············· 9分 3uuuruuur（Ⅲ）设BN??BP，0???1，则 ·················· 10分

uuuuruuuruuuuruuuruuurBM?BC?CM?BC??CP?(1,?1,0)??(?1,0,1)?(1??,?1,?) uuuruuuruuuruuuruuurAN?AB?BN?AB??BP?(1,1,0)??(0,?1,1)?(1,1??,?) ·· 11分

令BM?AN?0

得(1??)?1?(?1)?(1??)?????0 ··············· 12分 即??uuuuruuur?1??1233?1?1，μ是关于λ的单调递增函数， ······ 13分 1??1245当??[,]时，??[,]，

所以

BN12?[,] ······················· 14分 BP45 注：第（1）题四个得分点少一个扣1分；第（Ⅱ）题建系前的证明很简单，没写不扣分，若解答从点的坐标开始出错并且这个证明过程写了可以给1分；平面PBC的法向量不正确但方程组正确列出给1分；向量夹角余弦不正确但公式正确给1分；二面角是锐角没说明

uuuuruuur直接给出正确答案不扣分。第（Ⅲ）题写出BM?AN?0，而没有给出λ和μ的关系式，

给1分；没有写“μ是关于λ的单调递增函数”而结论正确不扣分；最后正确求出μ的范围，而没写

BN12?[,]不扣分。 BP45 18. （本题满分13分）

（Ⅰ）当a?0时，f(x)?lnx，定义域为(0,??) ············ 1分 x1?x?lnx1?lnx ·················· 2分 故

f'(x)?x?x2x2

令f'(x)?0，得0?x?e

故f(x)的单调递增区间为(0,e) ·················· 4分 （Ⅱ）法1：

因为a＞0，所以函数f(x)的定义域为(0,??)， ··········· 5分

x?aa?lnx1??lnx ················· 6分 xf'(x)?x?22(x?a)(x?a) 令g(x)?1?a?lnx xa1x?a????0 ················· 7分 x2xx2 则g'(x)?? 由g(e)?aa1?0，g(ea?1)?1?a?1?(1?a)?a?(a?1?1)?0， eeea?1 故存在x0?(e,e

)，g(x0)?0 ·················· 9分

故当x?(0,x0)时，g(x)?0；当x?(x0,??)时，g(x)?0

x (0,x0) ? ↗ x0 (x0,??) f'(x) f(x) 0 极大值 ? ↘ ································ 11分

a?f'(x)?1??lnx0?002??x0??x0?e故?，解得? ············· 13分 2??f(x)?lnx0?1?a?e0?x0?ae2? 故a的值为e2. （Ⅱ）法2：

因为a＞0，所以函数f(x)的定义域为(0,??)， ··········· 5分

f(x)的最大值为x0?(0,??)，使得

1lnx1x?(0,??)?的充要条件为对任意的，且存在22ex?aelnx01?2，等价于对任意的x?(0,??)，a?e2lnx?x且存在 x0?aex0?(0,??)，使得a?e2lnx0?x0， ················ 8分

等价于g(x)?elnx?x的最大值为a.

22eQg'(x)??1， ························· 9分 x令g'(x)?0，得x?e2.

x (0,e2) ? ↗ e2 (e2,??) g'(x) g(x) 0 极大值 ? ↘ ································· 11分 故g(x)的最大值为g(e)?elne?e?e，即a?e2. ········ 13分

22222 注：第（Ⅱ）题法1中对函数f(x)求导若在第（Ⅰ）题中完成，则这1分计到本小题；方法1中找点g(e)、g(ea?1)，若用函数g(x)的变化趋势说明不扣分；

方法1中文字说明与列表有一个即可；

方法2中“等价于g(x)?elnx?x的最大值为a”与最后结论“a?e2”出现一个即

2