2018年北京市海淀区高三一模理科数学试题及参考答案 下载本文

所以 PO?平面ABC

因为 PO?平面PAC ····················· 4分 所以 平面PAC?平面ABC 方法3:

设AC的中点为O,连接PO, 因为 在?PAC中,PA?PC, 所以 PO?··············· 1分 AC

PA QCO设AB的中点Q, 连接PQ,OQ及OB. 因为 在?OAB中,OA?OB,Q为AB的中点 所以 OQ?AB.

因为 在?PAB中,PA?PB,Q为AB的中点 所以 PQ?AB.

因为 PQIOQ?Q,PQ,OQ?平面OPQ 所以 AB?平面OPQ 因为 PO?平面OPQ

B所以 PO?AB ························ 2分 因为 ABIAC?A,AB,AC?平面ABC ············ 3分 所以 PO?平面ABC

因为 PO?平面PAC ····················· 4分

所以 平面PAC?平面ABC

法4:

设AC的中点为O,连接BO,PO.

因为 在?PAC中,PA?PC,O为AC的中点 所以 PO?············· 1分 AC,

PA

COB因为 在?ABC中,BA?BC,O为AC的中点 所以 BO?············· 2分 AC,

因为 POIBO?O,PO?平面PAC,BO?平面ABC,

所以∠POB为二面角P-AC-B的平面角。 ·············· 3分

因为 在?POB中,PO?1,OB?1,PB?2 所以 PO?OB ························ 4分 故二面角P-AC-B为直二面角,即平面PAC?平面ABC。

(Ⅱ)由PO?平面ABC,OB?AC,如图建立空间直角坐标系,则O(0,0,0),C(1,0,0),B(0,1,0),A(?1,0,0),

zPAB P(0,0,1)

5分

由OB?平面APC,

uuur故平面APC的法向量为OB?(0,1,0) ·· 6分

由BC?(1,?1,0),PC?(1,0,?1)

xCOuuuruuuryuuurr?n?BC?0?x?y?0r 设平面PBC的法向量为n?(x,y,z),则由?uuu得:?n?PC?0??x?z?0r令x?1,得y?1,z?1,即n?(1,1,1) ············· 7分

ruuurruuurn?OB13r?cos?n,OB??ruuu? ············· 8分

3|n|?|OB|3?1由二面角A?PC?B是锐二面角, 所以二面角A?PC?B的余弦值为3 ·············· 9分 3uuuruuur(Ⅲ)设BN??BP,0???1,则 ·················· 10分

uuuuruuuruuuuruuuruuurBM?BC?CM?BC??CP?(1,?1,0)??(?1,0,1)?(1??,?1,?) uuuruuuruuuruuuruuurAN?AB?BN?AB??BP?(1,1,0)??(0,?1,1)?(1,1??,?) ·· 11分

令BM?AN?0

得(1??)?1?(?1)?(1??)?????0 ··············· 12分 即??uuuuruuur?1??1233?1?1,μ是关于λ的单调递增函数, ······ 13分 1??1245当??[,]时,??[,],

所以

BN12?[,] ······················· 14分 BP45 注:第(1)题四个得分点少一个扣1分;第(Ⅱ)题建系前的证明很简单,没写不扣分,若解答从点的坐标开始出错并且这个证明过程写了可以给1分;平面PBC的法向量不正确但方程组正确列出给1分;向量夹角余弦不正确但公式正确给1分;二面角是锐角没说明

uuuuruuur直接给出正确答案不扣分。第(Ⅲ)题写出BM?AN?0,而没有给出λ和μ的关系式,

给1分;没有写“μ是关于λ的单调递增函数”而结论正确不扣分;最后正确求出μ的范围,而没写

BN12?[,]不扣分。 BP45 18. (本题满分13分)

(Ⅰ)当a?0时,f(x)?lnx,定义域为(0,??) ············ 1分 x1?x?lnx1?lnx ·················· 2分 故

f'(x)?x?x2x2

令f'(x)?0,得0?x?e

故f(x)的单调递增区间为(0,e) ·················· 4分 (Ⅱ)法1:

因为a>0,所以函数f(x)的定义域为(0,??), ··········· 5分

x?aa?lnx1??lnx ················· 6分 xf'(x)?x?22(x?a)(x?a) 令g(x)?1?a?lnx xa1x?a????0 ················· 7分 x2xx2 则g'(x)?? 由g(e)?aa1?0,g(ea?1)?1?a?1?(1?a)?a?(a?1?1)?0, eeea?1 故存在x0?(e,e

),g(x0)?0 ·················· 9分

故当x?(0,x0)时,g(x)?0;当x?(x0,??)时,g(x)?0

x (0,x0) ? ↗ x0 (x0,??) f'(x) f(x) 0 极大值 ? ↘ ································ 11分

a?f'(x)?1??lnx0?002??x0??x0?e故?,解得? ············· 13分 2??f(x)?lnx0?1?a?e0?x0?ae2? 故a的值为e2. (Ⅱ)法2:

因为a>0,所以函数f(x)的定义域为(0,??), ··········· 5分

f(x)的最大值为x0?(0,??),使得

1lnx1x?(0,??)?的充要条件为对任意的,且存在22ex?aelnx01?2,等价于对任意的x?(0,??),a?e2lnx?x且存在 x0?aex0?(0,??),使得a?e2lnx0?x0, ················ 8分

等价于g(x)?elnx?x的最大值为a.

22eQg'(x)??1, ························· 9分 x令g'(x)?0,得x?e2.

x (0,e2) ? ↗ e2 (e2,??) g'(x) g(x) 0 极大值 ? ↘ ································· 11分 故g(x)的最大值为g(e)?elne?e?e,即a?e2. ········ 13分

22222 注:第(Ⅱ)题法1中对函数f(x)求导若在第(Ⅰ)题中完成,则这1分计到本小题;方法1中找点g(e)、g(ea?1),若用函数g(x)的变化趋势说明不扣分;

方法1中文字说明与列表有一个即可;

方法2中“等价于g(x)?elnx?x的最大值为a”与最后结论“a?e2”出现一个即

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