第n（n是正整数）个图案中由 个基础图形组成．

……

(1)

(2)

(3)

【例42】 用火柴棍像如图这样搭三角形：你能找出规律猜想出下列两个问题吗？我们可以发现搭1个图形需

要3根火柴，搭2个图形需要5根火柴，……

⑴ 搭7个需要 根火柴棍．

⑵ 搭n个三角形需要 根火柴棍．

【例43】 假设有足够多的黑白围棋子，按照一定的规律排成一行，如图：

……

那么请问第2007个棋子是黑的还是白的？ 答： ．

【例44】 探索图形规律，在数学活动课上，小红同学准备用两种不同颜色的布拼接一个正方形杯垫，杯垫的

图案设计如上图所示，最后应选择下图中的哪一个才能使其与上图拼接后符合图案的设计模式（ ）．

ABCD

【例45】 观察下列图形：

图1图2图3图4根据图1、图2、图3的规律，图4中的三角形的个数为 ．

【例46】 如图摆放在地上的正方体的大小均相等，现在把露在外面的表面涂成红色，

2.1.1找规律及定义新运算 题库·学生版 page 13 of 21

第一层 第二层 第三层

从上向下数，每层正方体被涂成红色的面数分别为： 第一层：侧面个数?上面个数?1?4?1?5； 第二层：侧面个数?上面个数?2?4?3?11； 第三层：侧面个数?上面个数?3?4?5?17； 第四层：侧面个数?上面个数?4?4?7?23； …………

根据上述的计算方法，总结规律，并完成下列问题： ① 求第6层有多少个面被涂成了红色？

② 求第n层有多少个面被涂成了红色？（用含n的式子表示）

③ 若第m层有89个面被涂成红色，请你判断这是第几层？并说明理由．

【例47】 电子跳蚤游戏盘是如图所示的?ABC，AB?AC?BC?6．如果跳蚤开始时在BC边的P0处，

BP0?2．跳蚤第一步从P0跳到AC边的P1（第1次落点）处，且CP1?CP0；第二步从P1跳到AB边

的P2（第2次落点）处，且AP2?AP第三步从P2跳到BC边的P3（第3次落点）处，且BP3?BP2…；1；

跳蚤按照上述规则一直跳下去，第n次落点为Pn（n为正整数），则点P2009与点P2010之间的距离为_________．

AP2P1BP0P3C

【例48】 图1是棱长为a的小正方体，图2、图3由这样的小正方体摆放而成．按照这样的方法继续摆放，

由上而下分别叫第一层、第二层、…、第n层，第n层的小正方体的个数为s．解答下列问题：

图1 图2 图3 ⑴ 按照要求填表：

2.1.1找规律及定义新运算 题库·学生版 page 14 of 21

n s 1 1 2 3 3 6 4 … … ⑵ 写出当n?10时，s? ．

【例49】 如下图，将一张正方形纸片，剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一个小正方形再按

同样的方法剪成四个小正方形，再将其中的一个小正方形剪成四个小正方形，如此循环进行下去；

⑴ 填表：

3 5 剪的次数 1 2 4 正方形个数 4 7 ⑵ 如果剪了100次，共剪出多少个正方形？ ⑶ 如果剪n次，共剪出多少个正方形？ ⑷ 观察图形，你还能得出什么规律？

【例50】 如图，有一个六边形点阵，它的中心是一个点，算作第一层；第二层每边有两个点（相邻两边公用

一个点）；第三层每边有三个点，…这个六边形点阵共有n层，试问第n层有多少个点？这个点阵共有多少个点？

… … … … … …

【例51】 图1是一个方阵图，每行的3个数，每列的3个数，斜对角的3个数相加的和均相等．如果将方阵

2.1.1找规律及定义新运算 题库·学生版 page 15 of 21

第n层 图中的每个数都加上同一数，那么方阵图中每行的3个数，每列的3个数，斜对角的3个数相加的和仍然相等，这样形成一个新的方阵图．根据图2、图3、图4中给出的数，对照原来的方阵图，你能完成图2、3、4的方阵图吗？

1 2 ?3 ?4 0 4 3 ?2 ?1 图1

3 4 ?1

?2

?3

?7

?4 图2

图3

图4

【例52】 “九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上

经常研究这一神话．

① 现有1、2、3、4、5、6、7、8、9共九个数字，请将它们分别填入图1的九个方格中，使得每行的三个数、每列的三个数、斜对角的三个数之和都相等．每一列的三个数的和为多少？给出一种填法．

② 通过研究问题①，利用你发现的规律，将3、5、?7、1、7、?3、9、?5、?1，这九个数字分别填入图2的九个方格中，使得横、竖、斜对角的所有三个数的和都相等．

图1

【例53】 n个数围成一圈，每次操作把其中某一个数换成这个数依次加上相邻的两个数后所得的和，或者换

成这个数依次减去与它相邻的两个数后所得的差．例如：

1 2

5 3＋2＋4=9 3

4 1

0 -2007

图2

1 2

5

9

4

2006 1 2

5

3

4

3-2-4=-3 -3 2

1

5 4

⑴ 能否通过若干次操作完成下图中的变换？请说明理由．

1000

3

⑵ 能否通过若干次操作完成下图中的变换？请说明理由．

6

26 2006 2

0

6

0

⑶ 能否通过若干次操作完成下图中的变换？请说明理由．

2.1.1找规律及定义新运算 题库·学生版 page 16 of 21

206