设L为光滑或按段光滑曲线 , L : .

和

在L上连续, 则沿L的

A, B; 函数

自然方向( 即从点A到点B的方向)有

. (证略)

例1 计算积分

从点A到点B或闭合, 路径为

, L的两个端点为A( 1, 1 ) , B( 2 , 3 ). 积分

ⅰ> 直线段AB

ⅱ> 抛物线;

ⅲ> A( 1, 1 )P205例1

D( 2 , 1 ) B( 2 , 3 ) A( 1, 1 ), 折线闭合路径 .

例2 计算积分, 这里L :

ⅰ> 沿抛物线从点O( 0 , 0 )到点B( 1 , 2 );

ⅱ> 沿直线从点O( 0 , 0 )到点B( 1 , 2 );

ⅲ> 沿折线闭合路径O(0,0)例3 计算第二型曲线积分I =

, 从

例4 求在力场

A(1,0 ) B(1,2 ) O(0,0). P205例1 , 其中L是螺旋线

到的一段 . P207例3

作用下,

ⅰ> 质点由点A沿螺旋线到点B所作的功, 其中

L: , .

ⅱ> 质点由点A沿直线L到点B所作的功P207例4