教学时数：10学时

§ 1 第一型曲线积分

一. 第一型线积分的定义:

1. 几何体的质量: 已知密度函数 , 分析线段的质量 2. 曲线的质量:

3. 第一型线积分的定义: 定义及记法.线积分

,.

4. 第一型线积分的性质: P198 二. 第一型线积分的计算:

1. 第一型曲线积分的计算: 回顾“光滑曲线”概念 . Th20.1 设有光滑曲线在上的连续函数 . 则

. ( 证 ) P199

若曲线方程为:

. , 则

,

.

是定义

的方程为时有类似的公式.

,

.

例1 设是半圆周

. P200例1

例2 设是曲线积分

. P200例2

上从点到点的一段. 计算第一型曲线

空间曲线上的第一型曲线积分: 设空间曲线

,

上的连续函数

, 有

.

例3 计算积分

, 其中是球面

被平面

. 函数

连续可导, 则对

截得的圆周 . P201例3

解由对称性知 ,

,

=. ( 注意是大圆 )

§ 2 第二型曲线积分

一. 第二型曲线积分的定义: 1. 力场

沿平面曲线从点A到点B所作的功:

先用微元法 , 再用定义积分的方法讨论这一问题 , 得

, 即

.

2. 稳流场通过曲线( 从一侧到另一侧 ) 的流量: 解释稳流场. ( 以磁场为例 ).

设有流速场

侧到右侧的流量E . 设曲线AB上点

. 求在单位时间内通过曲线AB从左处的切向量为

, (

是切向量方向与X轴正向的夹角. 切向量方向按如下方法确定: 法线方 向是指从曲线的哪一侧到哪一侧, 在我们现在的问题中是指从左侧到右侧的方向. 切向量方向与法线向按右手法则确定, 即以右手拇指所指为法线方向, 则食指所指为切线方向 .) .在弧段

上的流量

,

.

因此 ,

.

由

.

于是通过曲线AB从左侧到右侧的总流量E为

.

, 得

3. 第二型曲线积分的定义: 闭路积分的记法. 按这一定义 , 有 力场

沿平面曲线从点A到点B所作的功为

.

流速场

右侧的总流量E为

在单位时间内通过曲线AB从左侧到 .

第二型曲线积分的鲜明特征是曲线的方向性 . 对二型曲线积分有

,因此,定积分是第二型曲线积分中当曲线为X轴上的线段时的特例.

可类似地考虑空间力场

曲线AB所作的功. 导出空间曲线上的第二型曲线积分

.

沿空间

4. 第二型曲线积分的性质:

第二型曲线积分可概括地理解为向量值函数的积累问题 . 与我们以前讨论过的积分相比, 除多了一层方向性的考虑外, 其余与以前的积累问题是一样的, 还是用Riemma的思想建立的积分 . 因此 , 第二型曲线积分具有(R )积分的共性 , 如线性、关于函数或积分曲线的可加性 . 但第二型曲线积分一般不具有关于函数的单调性 , 这是由于一方面向量值函数不能比较大小, 另一方面向量值函数在小弧段上的积分还与弧段方向与向量方向之间的夹角有关. 二. 第二型曲线积分的计算:

曲线的自然方向: 设曲线L由参数式给出. 称参数增大时曲线相应的方向为自然方向.