5.

时,

义 . 用其作为内.到

依此 , 可把

函数的延拓:

该式右端在

时

时, 依式

内 .

延拓到

内除去

的所有点.

的定义, 即把

延拓到了

, 又可把

延拓时也有意

, 利用延拓后的

经过如此延拓后的例1 求解

,

的图象如 P192图表19—2.

,

. ( 查表得

.

),

.

.)

6. 函数的其他形式和一个特殊值:

函数 . 倘能如此, 可查

某些积分可通过换元或分部积分若干次后化为函数表求得该积分的值. 常见变形有:

ⅰ> 令, 有 =,

.

,

因此,

ⅱ> 令.

注意到 P7的结果, 得的一个特殊值

.

ⅲ> 令, 得 . 取, 得

.

例2 计算积分, 其中.

解I.

二. Beta函数——Euler第一型积分：

1．Beta函数及其连续性：

称( 含有两个参数的 )含参积分一型积分. 当

为Euler第

和中至少有一个小于1 时, 该积分为瑕积分. 下证对

, 该积分收敛. 由于

分成

和

考虑.

时点和均为瑕点. 故把积分

:

负,

时为正常积分; 时, 点为瑕点. 由被积函数非

和,

( 由Cauchy判法) 积分收敛 . ( 易见时积分发散 ).

: 时为正常积分; 时, 点为瑕点. 由被积函数非负,

和,

( 由Cauchy判法) 积分收敛 . ( 易见时积分发散 ).

综上, 时积分收敛. 设,

D于是, 积分

, 即 =

定义了D内的一个二元函数. 称该函数为Beta函数, 记为

函数在D内闭一致收敛. 又被积函数在D内连续, 因此 ,

不难验证,

函数是D内的二元连续函数.

2.

证

=

函数的对称性: .

.

由于函数的两个变元是对称的, 因此, 其中一个变元具有的性质另一个

变元自然也具有.

3. 递推公式: .

证

,

而

,

代入式, 有,

解得.

由对称性, 又有.

4. 函数的其他形式: