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第二十一章 一元二次方程周周测5 一元二次方程的根与系数的关系
一、选择题(共5小题,每小题3分,满分15分)
1.已知一元二次方程:x2﹣3x﹣1=0的两个根分别是x1、x2,则x12x2+x1x22的值为( ) A.﹣3 B.3
C.﹣6 D.6
2.已知α、β是方程2x2﹣3x﹣1=0的两个实数根,则(α﹣2)(β﹣2)的值是( ) A.
B.
C.3
D.
3.设a、b是方程x2+x﹣2014=0的两个实数根,则a2+2a+b的值为( ) A.2014 B.2013 C.2012 D.2011
4.小明和小华解同一个一元二次方程时,小明看错一次项系数,解得两根为2,﹣3,而小华看错常数项,解错两根为﹣2,5,那么原方程为( ) A.x2﹣3x+6=0
B.x2﹣3x﹣6=0 C.x2+3x﹣6=0
D.x2+3x+6=0
5.关于方程式49x2﹣98x﹣1=0的解,下列叙述何者正确( ) A.无解 B.有两正根
C.有两负根 D.有一正根及一负根
二、填空题(共8小题,每小题3分,满分24分)
6.设x1,x2是方程4x2+3x﹣2=0的两根,则x1+x2=______,x1x2=______. 7.若关于x的方程2x2﹣mx+n=0的两根为﹣3和4,则m=______,n=______. 8.已知x1、x2是方程2x2+14x﹣16=0的两实数根,那么
的值为______.
9.设x1,x2是一元二次方程x2+5x﹣3=0的两根,且2x1(x22+6x2﹣3)+a=4,则a=______. 10.设α,β是一元二次方程x2+3x﹣7=0的两个根,则α2+4α+β=______. 11.若关于x的方程x2﹣5x+k=0的一个根是0,则另一个根是______,k=______. 12.若一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长,且S△ABC=3,请写出一个符合题意的一元二次方程______.
13.若方程x2﹣kx+6=0的两根分别比方程x2+kx+6=0的两根大5,则k的值是______.
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三.解答题:
14.不解方程,写出方程的两根之和与两根之积: (1)3x2+2x﹣3=0 (2)x2+x=6x+7.
15.已知实数a,b分别满足a2﹣6a+4=0,b2﹣6b+4=0,且a≠b,求+的值.
16.已知关于x的一元二次方程x2=2(1﹣m)x﹣m2的两实数根为x1,x2 (1)求m的取值范围;
(2)设y=x1+x2,当y取得最小值时,求相应m的值,并求出最小值.
17.已知一元二次方程x2﹣2x+m=0. (1)若方程有两个实数根,求m的范围;
(2)若方程的两个实数根为x1,x2,且x1+3x2=3,求m的值.
18.关于x的一元二次方程x2﹣(m﹣3)x﹣m2=0. (1)证明:方程总有两个不相等的实数根;
(2)设这个方程的两个实数根为x1,x2,且|x1|=|x2|﹣2,求m的值及方程的根.
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参考答案与试题解析
一、选择题(共5小题,每小题3分,满分15分)
1.已知一元二次方程:x2﹣3x﹣1=0的两个根分别是x1、x2,则x12x2+x1x22的值为( ) A.﹣3 B.3
C.﹣6 D.6
【解答】解:∵一元二次方程:x2﹣3x﹣1=0的两个根分别是x1、x2, ∴x1+x2=3,x1?x2=﹣1,
∴x12x2+x1x22=x1x2?(x1+x2)=﹣1×3=﹣3. 故选A.
2.已知α、β是方程2x2﹣3x﹣1=0的两个实数根,则(α﹣2)(β﹣2)的值是( ) A.
B.
C.3
D.
【解答】解:因为α、β是方程2x2﹣3x﹣1=0的两个实数根, 所以α+β=,αβ=﹣, 又因为(α﹣2)(β﹣2) =αβ﹣2(α+β)+4 =﹣﹣2×+4 =. 故选A
3.设a、b是方程x2+x﹣2014=0的两个实数根,则a2+2a+b的值为( ) A.2014 B.2013 C.2012 D.2011
【解答】解:∵a是方程x2+x﹣2014=0的实数根, ∴a2+a﹣2014=0, ∴a2+a=2014, ∴原式=2014+a+b,
∵a、b是方程x2+x﹣2014=0的两个实数根, ∴a+b=﹣1,
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∴原式=2014﹣1=2013. 故选B.
4.小明和小华解同一个一元二次方程时,小明看错一次项系数,解得两根为2,﹣3,而小华看错常数项,解错两根为﹣2,5,那么原方程为( ) A.x2﹣3x+6=0
B.x2﹣3x﹣6=0 C.x2+3x﹣6=0
D.x2+3x+6=0
【解答】解:小明看错一次项系数,解得两根为2,﹣3,两根之积正确;小华看错常数项,解错两根为﹣2,5,两根之和正确,
故设这个一元二次方程的两根是α、β,可得:α?β=﹣6,α+β=﹣3, 那么以α、β为两根的一元二次方程就是x2﹣3x﹣6=0, 故选:B.
5.关于方程式49x2﹣98x﹣1=0的解,下列叙述何者正确( ) A.无解 B.有两正根
C.有两负根 D.有一正根及一负根
【解答】解:由判别式△>0,知方程有两个不相等的实数根, 又由根与系数的关系,知x1+x2=﹣=2>0,x1?x2==﹣所以有一正根及一负根. 故选D.
二、填空题(共8小题,每小题3分,满分24分) 6.设x1,x2是方程4x2+3x﹣2=0的两根,则x1+x2=
,x1x2= ﹣ .
,x1x2=﹣. <0,
【解答】解:x1,x2是方程4x2+3x﹣2=0的两根,则x1+x2=故答案为:
,﹣.
7.若关于x的方程2x2﹣mx+n=0的两根为﹣3和4,则m= 2 ,n= ﹣24 . 【解答】解:由根与系数的关系得,﹣3+4=,(﹣3)×4=
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