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第二十一章 一元二次方程周周测5 一元二次方程的根与系数的关系

一、选择题（共5小题，每小题3分，满分15分）

1．已知一元二次方程：x2﹣3x﹣1=0的两个根分别是x1、x2，则x12x2+x1x22的值为（ ） A．﹣3 B．3

C．﹣6 D．6

2．已知α、β是方程2x2﹣3x﹣1=0的两个实数根，则（α﹣2）（β﹣2）的值是（ ） A．

B．

C．3

D．

3．设a、b是方程x2+x﹣2014=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（ ） A．2014 B．2013 C．2012 D．2011

4．小明和小华解同一个一元二次方程时，小明看错一次项系数，解得两根为2，﹣3，而小华看错常数项，解错两根为﹣2，5，那么原方程为（ ） A．x2﹣3x+6=0

B．x2﹣3x﹣6=0 C．x2+3x﹣6=0

D．x2+3x+6=0

5．关于方程式49x2﹣98x﹣1=0的解，下列叙述何者正确（ ） A．无解 B．有两正根

C．有两负根 D．有一正根及一负根

二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）

6．设x1，x2是方程4x2+3x﹣2=0的两根，则x1+x2=______，x1x2=______． 7．若关于x的方程2x2﹣mx+n=0的两根为﹣3和4，则m=______，n=______． 8．已知x1、x2是方程2x2+14x﹣16=0的两实数根，那么

的值为______．

9．设x1，x2是一元二次方程x2+5x﹣3=0的两根，且2x1（x22+6x2﹣3）+a=4，则a=______． 10．设α，β是一元二次方程x2+3x﹣7=0的两个根，则α2+4α+β=______． 11．若关于x的方程x2﹣5x+k=0的一个根是0，则另一个根是______，k=______． 12．若一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，且S△ABC=3，请写出一个符合题意的一元二次方程______．

13．若方程x2﹣kx+6=0的两根分别比方程x2+kx+6=0的两根大5，则k的值是______．

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三．解答题：

14．不解方程，写出方程的两根之和与两根之积： （1）3x2+2x﹣3=0 （2）x2+x=6x+7．

15．已知实数a，b分别满足a2﹣6a+4=0，b2﹣6b+4=0，且a≠b，求+的值．

16．已知关于x的一元二次方程x2=2（1﹣m）x﹣m2的两实数根为x1，x2 （1）求m的取值范围；

（2）设y=x1+x2，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值．

17．已知一元二次方程x2﹣2x+m=0． （1）若方程有两个实数根，求m的范围；

（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x1+3x2=3，求m的值．

18．关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m2=0． （1）证明：方程总有两个不相等的实数根；

（2）设这个方程的两个实数根为x1，x2，且|x1|=|x2|﹣2，求m的值及方程的根．

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参考答案与试题解析

一、选择题（共5小题，每小题3分，满分15分）

1．已知一元二次方程：x2﹣3x﹣1=0的两个根分别是x1、x2，则x12x2+x1x22的值为（ ） A．﹣3 B．3

C．﹣6 D．6

【解答】解：∵一元二次方程：x2﹣3x﹣1=0的两个根分别是x1、x2， ∴x1+x2=3，x1?x2=﹣1，

∴x12x2+x1x22=x1x2?（x1+x2）=﹣1×3=﹣3． 故选A．

2．已知α、β是方程2x2﹣3x﹣1=0的两个实数根，则（α﹣2）（β﹣2）的值是（ ） A．

B．

C．3

D．

【解答】解：因为α、β是方程2x2﹣3x﹣1=0的两个实数根， 所以α+β=，αβ=﹣， 又因为（α﹣2）（β﹣2） =αβ﹣2（α+β）+4 =﹣﹣2×+4 =． 故选A

3．设a、b是方程x2+x﹣2014=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（ ） A．2014 B．2013 C．2012 D．2011

【解答】解：∵a是方程x2+x﹣2014=0的实数根， ∴a2+a﹣2014=0， ∴a2+a=2014， ∴原式=2014+a+b，

∵a、b是方程x2+x﹣2014=0的两个实数根， ∴a+b=﹣1，

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∴原式=2014﹣1=2013． 故选B．

4．小明和小华解同一个一元二次方程时，小明看错一次项系数，解得两根为2，﹣3，而小华看错常数项，解错两根为﹣2，5，那么原方程为（ ） A．x2﹣3x+6=0

B．x2﹣3x﹣6=0 C．x2+3x﹣6=0

D．x2+3x+6=0

【解答】解：小明看错一次项系数，解得两根为2，﹣3，两根之积正确；小华看错常数项，解错两根为﹣2，5，两根之和正确，

故设这个一元二次方程的两根是α、β，可得：α?β=﹣6，α+β=﹣3， 那么以α、β为两根的一元二次方程就是x2﹣3x﹣6=0， 故选：B．

5．关于方程式49x2﹣98x﹣1=0的解，下列叙述何者正确（ ） A．无解 B．有两正根

C．有两负根 D．有一正根及一负根

【解答】解：由判别式△＞0，知方程有两个不相等的实数根， 又由根与系数的关系，知x1+x2=﹣=2＞0，x1?x2==﹣所以有一正根及一负根． 故选D．

二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分） 6．设x1，x2是方程4x2+3x﹣2=0的两根，则x1+x2=

，x1x2= ﹣ ．

，x1x2=﹣． ＜0，

【解答】解：x1，x2是方程4x2+3x﹣2=0的两根，则x1+x2=故答案为：

，﹣．

7．若关于x的方程2x2﹣mx+n=0的两根为﹣3和4，则m= 2 ，n= ﹣24 ． 【解答】解：由根与系数的关系得，﹣3+4=，（﹣3）×4=

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