（3）先判断出

=，再同（2）的方法，即可得出结论．

【解答】解：（1）∵AM⊥MN，CN⊥MN， ∴∠AMB=∠BNC=90°， ∴∠BAM+∠ABM=90°， ∵∠ABC=90°，

∴∠ABM+∠CBN=90°， ∴∠BAM=∠CBN， ∵∠AMB=∠NBC， ∴△ABM∽△BCN；

（2）如图2，

过点P作PF⊥AP交AC于F，

在Rt△AFP中，tan∠PAC===，

同（1）的方法得，△ABP∽△PQF，

∴ =，

设AB= a，PQ=2a，BP= b，FQ=2b（a＞0，b＞0）， ∵∠BAP=∠C，∠B=∠CQF=90°， ∴△ABP∽△CQF，

∴ ，∴CQ==2a， ∵BC=BP+PQ+CQ= b+2a+2a=4a+ b ∵∠BAP=∠C，∠B=∠B=90°， ∴△ABP∽△CBA，

∴=，

∴BC===，

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∴4a+ b=，a=b，

∴BC=4×b+ b=b，AB= a=b，

在Rt△ABC中，tanC==；

（3）

在Rt△ABC中，sin∠BAC==，

过点A作AG⊥BE于G，过点C作CH⊥BE交EB的延长线于H， ∵∠DEB=90°， ∴CH∥AG∥DE，

∴ =

同（1）的方法得，△ABG∽△BCH ∴ ，

设BG=4m，CH=3m，AG=4n，BH=3n， ∵AB=AE，AG⊥BE， ∴EG=BG=4m， ∴GH=BG+BH=4m+3n，

∴ ，

∴n=2m，

∴EH=EG+GH=4m+4m+3n=8m+3n=8m+6m=14m，

在Rt△CEH中，tan∠BEC==．

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【点评】此题是相似形综合题，主要考查了同角的余角相等，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，平行线分线段成比例定理，构造图1是解本题的关键．

24．（12分）（2018?武汉）抛物线L：y=﹣x2+bx+c经过点A（0，1），与它的对称轴直线x=1交于点B．

（1）直接写出抛物线L的解析式；

（2）如图1，过定点的直线y=kx﹣k+4（k＜0）与抛物线L交于点M、N．若△BMN的面积等于1，求k的值；

（3）如图2，将抛物线L向上平移m（m＞0）个单位长度得到抛物线L1，抛物线L1与y轴交于点C，过点C作y轴的垂线交抛物线L1于另一点D．F为抛物线L1的对称轴与x轴的交点，P为线段OC上一点．若△PCD与△POF相似，并且符合条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标．

【考点】HF：二次函数综合题．

【专题】15 ：综合题；537：函数的综合应用．

【分析】（1）根据对称轴为直线x=1且抛物线过点A（0，1）求解可得； （2）根据直线y=kx﹣k+4=k（x﹣1）+4知直线所过定点G坐标为（1，4），从而

得出BG=2，由S△BMN=S△BNG﹣S△BMG=BG?xN﹣BG?xM=1得出xN﹣xM=1，联立直

线和抛物线解析式求得x=，根据xN﹣xM=1列出关于k的方程，解之

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可得；

（3）设抛物线L1的解析式为y=﹣x2+2x+1+m，知C（0，1+m）、D（2，1+m）、F（1，0），再设P（0，t），分△PCD∽△POF和△PCD∽△POF两种情况，由对应边成比例得出关于t与m的方程，利用符合条件的点P恰有2个，结合方程的解的情况求解可得．

【解答】解：（1）由题意知 ，

解得：b=2、c=1，

∴抛物线L的解析式为y=﹣x2+2x+1；

（2）如图1，

∵y=kx﹣k+4=k（x﹣1）+4，

∴当x=1时，y=4，即该直线所过定点G坐标为（1，4）， ∵y=﹣x2+2x+1=﹣（x﹣1）2+2， ∴点B（1，2）， 则BG=2，

∵S△BMN=1，即S△BNG﹣S△BMG=BG?xN﹣BG?xM=1，

∴xN﹣xM=1， 由

得x2+（k﹣2）x﹣k+3=0，

解得：x==，

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