∴AB⊥BC，

∵PA、PB都是切线， ∴PA=PB，∠APO=∠BPO， ∵OA=OB，

∴OP垂直平分线段AB， ∴OK∥BC， ∵AO=OC， ∴AK=BK，

∴BC=2OK，设OK=a，则BC=2a， ∵∠APC=3∠BPC，∠APO=∠OPB， ∴∠OPC=∠BPC=∠PCB， ∴BC=PB=PA=2a， ∵△PAK∽△POA， ∴PA2=PK?PO，设PK=x， 则有：x2+ax﹣4a2=0，

解得x=a（负根已经舍弃），

∴PK=a，

∵PK∥BC， ∴==．

【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．

22．（10分）（2018?武汉）已知点A（a，m）在双曲线y=上且m＜0，过点A

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作x轴的垂线，垂足为B．

（1）如图1，当a=﹣2时，P（t，0）是x轴上的动点，将点B绕点P顺时针旋转90°至点C，

①若t=1，直接写出点C的坐标；

②若双曲线y=经过点C，求t的值．

（2）如图2，将图1中的双曲线y=（x＞0）沿y轴折叠得到双曲线y=﹣（x

＜0），将线段OA绕点O旋转，点A刚好落在双曲线y=﹣（x＜0）上的点D（d，

n）处，求m和n的数量关系．

【考点】GB：反比例函数综合题． 【专题】153：代数几何综合题．

【分析】（1）①如图1﹣1中，求出PB、PC的长即可解决问题；

②图1﹣2中，由题意C（t，t+2），理由待定系数法，把问题转化为方程解决即可；

（2）分两种情形①当点A与点D关于x轴对称时，A（a，m），D（d，n），可得m+n=0．

②当点A绕点O旋转90°时，得到D′，D′在y=﹣上，作D′H⊥y轴，则△ABO≌

△D′HO，推出OB=OH，AB=D′H，由A（a，m），推出D′（m，﹣a），即D′（m，n），由D′在y=﹣上，可得mn=﹣8；

【解答】解：（1）①如图1﹣1中，

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由题意：B（﹣2，0），P（1，0），PB=PC=3， ∴C（1，3）．

②图1﹣2中，由题意C（t，t+2），

∵点C在y=上，

∴t（t+2）=8， ∴t=﹣4 或2，

（2）如图2中，

①当点A与点D关于x轴对称时，A（a，m），D（d，n）， ∴m+n=0．

②当点A绕点O旋转90°时，得到D′，D′在y=﹣上，

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作D′H⊥y轴，则△ABO≌△D′HO， ∴OB=OH，AB=D′H， ∵A（a，m），

∴D′（m，﹣a），即D′（m，n），

∵D′在y=﹣上，

∴mn=﹣8，

综上所述，满足条件的m、n的关系是m+n=0或mn=﹣8．

【点评】本题考查反比例函数综合题、旋转变换、待定系数法、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．

23．（10分）（2018?武汉）在△ABC中，∠ABC=90°．

（1）如图1，分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为M、N，求证：△ABM∽△BCN；

（2）如图2，P是边BC上一点，∠BAP=∠C，tan∠PAC=，求tanC的值；

（3）如图3，D是边CA延长线上一点，AE=AB，∠DEB=90°，sin∠BAC=， ，直

接写出tan∠CEB的值．

【考点】SO：相似形综合题． 【专题】15 ：综合题．

【分析】（1）利用同角的余角相等判断出∠BAM=∠CBN，即可得出结论；

（2）先判断出△ABP∽△PQF，得出 =，再判断出△ABP∽△CQF，

得出CQ=2a，进而建立方程用b表示出a，即可得出结论；

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