（3）由题意知：此时，PD=t，DQ=2t 当点M在BC边上时， ∴MN=BQ
∵PQ=MN=3t，BQ=3﹣2t ∴3t=3﹣2t ∴解得t=
如图①，当0≤t≤时， S△PNQ=
PQ2=
t2；
t2，
∴S=S菱形PQMN=2S△PNQ=如图②，当≤t≤时，
设MN、MQ与边BC的交点分别是E、F， ∵MN=PQ=3t，NE=BQ=3﹣2t， ∴ME=MN﹣NE=PQ﹣BQ=5t﹣3， ∵△EMF是等边三角形， ∴S△EMF=
ME2=
（5t﹣3）2
．
；
（4）MN、MQ与边BC的交点分别是E、F， 此时＜t＜t=1或
， ．
考点：几何变换综合题
9．如图1，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，D是△ABC内部一点，∠ADC=135°，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE． （1）①依题意补全图形；
②请判断∠ADC和∠CDE之间的数量关系，并直接写出答案．
（2）在（1）的条件下，连接BE，过点C作CM⊥DE，请判断线段CM，AE和BE之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图2，在正方形ABCD中，AB=的距离．
，如果PD=1，∠BPD=90°，请直接写出点A到BP
【答案】（1）①作图见解析；②∠ADC+∠CDE=180°；（2）AE=BE+2CM，理由解析；（3）【解析】
试题分析：（1）①作CE⊥CD，并且线段CE是将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到的，再连接DE即可；②根据∠ADC和∠CDE是邻补角，所以∠ADC+∠CDE=180°．
（2）由（1）的条件可得A、D、E三点在同一条直线上，再通过证明△ACD≌△BCE，易得AE=BE+2CM．
（3）运用勾股定理，可得出点A到BP的距离． 试题解析：解：（1）①依题意补全图形（如图）； ②∠ADC+∠CDE=180°．
（2）线段CM，AE和BE之间的数量关系是AE=BE+2CM，理由如下： ∵线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE， ∴CD=CE，∠DCE=90°． ∴∠CDE=∠CED=45°． 又∵∠ADC=135°， ∴∠ADC+∠CDE=180°，
∴A、D、E三点在同一条直线上． ∴AE=AD+DE． 又∵∠ACB=90°，
∴∠ACB－∠DCB=∠DCE－∠DCB， 即∠ACD=∠BCE． 又∵AC=BC，CD=CE，
．
∴△ACD≌△BCE． ∴AD=BE．
∵CD=CE，∠DCE=90°，CM⊥DE． ∴DE=2CM． ∴AE=BE+2CM． （3）点A到BP的距离为
．
考点：作图—旋转变换．
10．如图1，是边长分别为6和4的两个等边三角形纸片ABC和CD1E1叠放在一起．
（1）操作：固定△ABC，将△CD1E1绕点C顺时针旋转得到△CDE，连接AD、BE，如图2．探究：在图2中，线段BE与AD之间有怎样的大小关系？并请说明理由；
（2）操作：固定△ABC，若将△CD1E1绕点C顺时针旋转30°得到△CDE，连接AD、BE，CE的延长线交AB于点F，在线段CF上沿着CF方向平移，（点F与点P重合即停止平移）平移后的△CDE设为△PQR，如图3．
探究：在图3中，除三角形ABC和CDE外，还有哪个三角形是等腰三角形？写出你的结论（不必说明理由）；
（3）探究：如图3，在（2）的条件下，设CQ=x，用x代数式表示出GH的长． 【答案】（1）BE=CD．理由见解析；（2）△CHQ是等腰三角形；（3）2【解析】
试题分析：（1）根据等边三角形的性质可得AB=BC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，然后求出∠ACD=∠BCE，再利用“边角边”证明△ACD和△BCE全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
（2）求出∠ACF=30°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CHQ=30°，从而得到∠ACF=∠CHQ，判断出△CHQ是等腰三角形；
（3）求出∠CGP=90°，然后利用∠ACF的余弦表示出CG，再根据等腰三角形的性质表示出CH，然后根据GH=CG-CH整理即可得解． 试题解析：（1）BE=CD．
-x．
理由如下：∵△ABC与△CDE是等边三角形， ∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=60°． ∴∠ACB-∠ACE=∠ECD-∠ACE， 即∠BCE=∠ACD． 在△ACD和△BCE中，
∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD；
（2）∵旋转角为30°， ∴∠BCF=30°， ∴∠ACF=60°-30°=30°，
∴∠CHQ=∠RQP-∠ACF=60°-30°=30°， ∴∠ACF=∠CHQ， ∴△CHQ是等腰三角形；
（3）∠CGP=180°-∠ACF-∠RPQ=180°-30°-60°=90°， ∴CG=CP?cos30°=
（x+4），
∵△CHQ是等腰三角形， ∴CH=2?CQcos30°=2x?∴GH=CG-CH=
=
x， x=2
-x．
（x+4）-
考点：几何变换综合题．
11．在△ABC中,AB=6,AC=BC=5,将△ABC绕点A按顺时针方向旋转,得到△ADE,旋转角为α（0°＜α＜180°）,点B的对应点为点D,点C的对应点为点E,连接BD，BE． （1）如图,当α=60°时,延长BE交AD于点F． ①求证：△ABD是等边三角形； ②求证：BF⊥AD，AF=DF； ③请直接写出BE的长；
（2）在旋转过程中,过点D作DG垂直于直线AB,垂足为点G,连接CE,当∠DAG=∠ACB,且线段DG与线段AE无公共点时,请直接写出BE+CE的值．