概率论与数理统计 习题解答

第一章 思 考 题

1．事件的和或者差的运算的等式两端能“移项”吗？为什么？

2．医生在检查完病人的时候摇摇头“你的病很重，在十个得这种病的人中只有一个能救活. ”当病人被这个消息吓得够呛时，医生继续说“但你是幸运的.因为你找到了我，我已经看过九个病人了，他们都死于此病，所以你不会死” ，医生的说法对吗？为什么？

３．圆周率??3.1415926??是一个无限不循环小数, 我国数学家祖冲之第一次把它计算到小数点后七位, 这个记录保持了1000多年! 以后有人不断把它算得更精确. 1873年, 英国学者沈克士公布了一个?的数值, 它的数目在小数点后一共有707位之多! 但几十年后, 曼彻斯特的费林生对它产生了怀疑. 他统计了?的608位小数, 得到了下表:

数字0123456789出现次数60626768645662445867

你能说出他产生怀疑的理由吗?

答：因为?是一个无限不循环小数，所以，理论上每个数字出现的次数应近似相等，或它们出现的频率应都接近于0.1，但7出现的频率过小.这就是费林产生怀疑的理由.

4．你能用概率证明“三个臭皮匠胜过一个诸葛亮”吗？

５．两事件A、B相互独立与A、B互不相容这两个概念有何关系？对立事件与互不相容事件又有何区别和联系？

６．条件概率是否是概率？为什么？

习 题一

1．写出下列试验下的样本空间： （1）将一枚硬币抛掷两次

答：样本空间由如下4个样本点组成??{(正,正，)正(反,，)反(正,，反)(反, )（2）将两枚骰子抛掷一次

答：样本空间由如下36个样本点组成??{(i,j)i,j?1,2,3,4,5, 6} （3）调查城市居民（以户为单位）烟、酒的年支出

答：结果可以用（x，y）表示，x，y分别是烟、酒年支出的元数.这时，样本空间由坐标平面第一象限内一切点构成 .??{(x,y)x?0,y?0} 2．甲，乙，丙三人各射一次靶，记A?“甲中靶” B?“乙中靶” C?“丙中靶” 则可用上述三个事件的运算来分别表示下列各事件： (1) “甲未中靶”： A; (2) “甲中靶而乙未中靶”： AB; (3) “三人中只有丙未中靶”： ABC;

(4) “三人中恰好有一人中靶”： ABC?ABC?ABC; (5)“ 三人中至少有一人中靶”： A?B?C;

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(6)“三人中至少有一人未中靶”： A?B?C;或ABC; (7)“三人中恰有两人中靶”： ABC?ABC?ABC; (8)“三人中至少两人中靶”： AB?AC?BC; (9)“三人均未中靶”： ABC;

(10)“三人中至多一人中靶”： ABC?ABC?ABC?ABC; (11)“三人中至多两人中靶”： ABC;或A?B?C; 3 .设A,B是两随机事件，化简事件

(1)(A?B)(A?B) (2) (A?B)(A?B) 解:(1)(A?B)(A?B)?AB?AB?B?B,

(2) (A?B)(A?B)?AB?AB?B?(A?A??)B?B.

4．某城市的电话号码由5个数字组成，每个数字可能是从0-9这十个数字中的任一个，求电话号码由五个不同数字组成的概率.

5P10解：P?5?0.3024.

105．n张奖券中含有m张有奖的，k个人购买，每人一张，求其中至少有一人中奖的概率。

解法一：试验可模拟为m个红球，n?m个白球，编上号，从中任取k个构成一组，则总数为C，而全为白球的取法有Cknkn?m种，故所求概率为1?kCn?mkCn。

解法二：令Ai—第i人中奖，i?1,2,?.k,B—无一人中奖，则B?A1A2?Ak，注意到

A1，A2，?，AkP(B)?P(A1)P(A2不

)P(独

A3立也

Ak不互

)斥：由乘法公式

A1A1A2)?P(A1?Ak?1n?m(n?m?1)(n?m?2)(n?m?k?1)????nn?1n?2n?k?1Cnk?mCnk?m同除k!,故所求概率为1?k

CnkCn.

6．从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至少有两只配成一双”（事件A）

的概率是多少？

12C5C8?C52解：P(A)? 4C107．在??1,1?上任取一点X，求该点到原点的距离不超过

1的概率. 5 2

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1],所求事件解：此为几何概率问题：??[?1，111占有区间 [?，]，从而所求概率为P?5?1.

55252?8．在长度为a的线段内任取两点，将其分成三段，求它们可以构成一个

三角形的概率。

解：设一段长为x，另一段长为y，样本空间?:0?x?a,0?y?a,0?x?y?a，

a?0?x??2?a?所求事件满足： ?0?y?

2??x?y?(a?x?y)??从而所求概率＝

S?CDE1?. S?OAB49． 从区间(0,1)内任取两个数，求这两个数的乘积小于

1的概率。 411:XY?,故所求概率 44S(?)?S(D)1?S(D)P??,

S(?)111)dx?1?(1?ln4),故所求概率为4x4解：设所取两数为X,Y,样本空间占有区域?,两数之积小于

1而S(D)?1?(1?41(1?ln4)。 410．设A、B为两个事件，P(A)?0.9，P(AB)?0.36，求P(AB)。 解：P(AB)?P(A)?P(AB)?0.9?0.36?0.54;

11．设A、B为两个事件，P(B)?0.7，P(AB)?0.3，求P(A?B). 解：P(A?B)?P(AB)?1?P(AB)?1?[P(B)?P(AB)]?1?[0.7?0.3]?0.6. 12．假设P(A)?0.4，P(A?B)?0.7，若A、B互不相容，求P(B)；若A、

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B相互独立，求P(B)。

解：若A、B互不相容，P(B)?P(A?B)?P(A)?0.?70.?4；0.

若A、B相互独立，则由P(A?B)?P(A)?P(B)?P(A)P(可B)得P(B)=0.5.

13．飞机投弹炸敌方三个弹药仓库，已知投一弹命中1，2，3号仓库的概率分别为0.01,0.02,0.03,求飞机投一弹没有命中仓库的概率.

解：设A?{命中仓库}，则A?{没有命中仓库}，又设Ai?{命中第i仓库}(i?1,2,3)则P(A1)?0.01,P(A2)?0.02,P(A3)?0.03， 根据题意A?A1?A2?A3（其中A1,A2A3两两互不相容） 故P(A)?P(A1)?P(A2)?P(A3)=0.01+0.02+0.03=0.06 所以P(A)?1?P(A)?1?0.06?0.94 即飞机投一弹没有命中仓库的概率为0.94

14．某市有50%住户订日报，有65%的住户订晚报，有85%的住户至少

订这两种报纸中的一种，求同时订这两种报纸的住户的百分比

解： 设A?{用户订有日报}，B={用户订有晚报}，则A?B?{用户至少订有日报和晚报一种}，AB?{用户既订日报又订晚报}，已知

P(A)?0.5,P(B)?0.65,P(A?B)?0.85，所以

P(AB)?P(A)?P(B)?P(A?B)?0.5?0.65?0.85?0.3

即同时订这两种报纸的住户的百分比为30%

15．一批零件共100个，次品率为10%，接连两次从这批零件中任取一个零件，第一次取出的零件不再放回，求第二次才取得正品的概率。

解：设A?{第一次取得次品}，B?{第二次取得正品}，则

AB?{第二次才取得正品}，又因为P(A)?1090,P(BA)?，则 10099P(AB)?P(A)P(BA)?1090?0.0909

100994

16.设随机变量A、B、C两两独立，A与B互不相容. 已知P(B)?2P(C)?0