黄 金 考 点

【点评】本题是三角形的综合题，主要考查了三角形全等和相似的性质和判定，几何变换问题，解题的关键是能得出：△AOC∽△BOD，根据相似三角形的性质，并运用类比的思想解决问题，本题是一道比较好的题目．

23．（11分）如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x﹣5经过点B，C． （1）求抛物线的解析式；

（2）过点A的直线交直线BC于点M．

①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；

②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．

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【分析】（1）利用一次函数解析式确定C（0，﹣5），B（5，0），然后利用待定系数法求抛物线解析式；

（2）①先解方程﹣x2+6x﹣5=0得A（1，0），再判断△OCB为等腰直角三角形得到∠OBC=∠OCB=45°，则△AMB为等腰直角三角形，所以AM=2行四边形的性质得到PQ=AM=21，利用∠PDQ=45°得到PD=

，接着根据平

，PQ⊥BC，作PD⊥x轴交直线BC于D，如图

PQ=4，设P（m，﹣m2+6m﹣5），则D（m，m﹣5），

讨论：当P点在直线BC上方时，PD=﹣m2+6m﹣5﹣（m﹣5）=4；当P点在直线BC下方时，PD=m﹣5﹣（﹣m2+6m﹣5），然后分别解方程即可得到P点的横坐标；

②作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，如图2，利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠AM1B=2∠ACB，再确定N（3，﹣2），

AC的解析式为y=5x﹣5，E点坐标为（，﹣），利用两直线垂直的问题可设直线EM1的解析式为y=﹣x+b，把E（，﹣）代入求出b得到直线EM1的解析式为y=﹣x﹣

，则解方程组

得M1点的坐标；作直线BC上作点

M1关于N点的对称点M2，如图2，利用对称性得到∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB，设M2（x，x﹣5），根据中点坐标公式得到3=

，然后求出x即可得到M2的

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坐标，从而得到满足条件的点M的坐标．

【解答】解：（1）当x=0时，y=x﹣5=﹣5，则C（0，﹣5）， 当y=0时，x﹣5=0，解得x=5，则B（5，0）， 把B（5，0），C（0，﹣5）代入y=ax2+6x+c得∴抛物线解析式为y=﹣x2+6x﹣5；

（2）①解方程﹣x2+6x﹣5=0得x1=1，x2=5，则A（1，0）， ∵B（5，0），C（0，﹣5）， ∴△OCB为等腰直角三角形， ∴∠OBC=∠OCB=45°， ∵AM⊥BC，

∴△AMB为等腰直角三角形， ∴AM=

AB=

×4=2

，

，解得

，

∵以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，AM∥PQ， ∴PQ=AM=2

，PQ⊥BC，

作PD⊥x轴交直线BC于D，如图1，则∠PDQ=45°， ∴PD=

PQ=

×2

=4，

设P（m，﹣m2+6m﹣5），则D（m，m﹣5）， 当P点在直线BC上方时，

PD=﹣m2+6m﹣5﹣（m﹣5）=﹣m2+5m=4，解得m1=1，m2=4， 当P点在直线BC下方时，

PD=m﹣5﹣（﹣m2+6m﹣5）=m2﹣5m=4，解得m1=综上所述，P点的横坐标为4或

或

；

，m2=

，

②作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，如图2， ∵M1A=M1C， ∴∠ACM1=∠CAM1， ∴∠AM1B=2∠ACB，

∵△ANB为等腰直角三角形，

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∴AH=BH=NH=2， ∴N（3，﹣2），

易得AC的解析式为y=5x﹣5，E点坐标为（，﹣）， 设直线EM1的解析式为y=﹣x+b， 把E（，﹣）代入得﹣

+b=﹣，解得b=﹣

，

，

∴直线EM1的解析式为y=﹣x﹣

解方程组得

，则M1（，﹣）；

作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，如图2，则∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB，

设M2（x，x﹣5）， ∵3=∴x=∴M2（

，

，﹣），

，﹣

）或（

，﹣）．

，

综上所述，点M的坐标为（

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【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、等腰直角的判定与性质和平行四边形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．