解 金属球接地，其球心的电势

V?感应电荷总量

qdq?q1????dq??0 ?ss4πε0r4πε0R4πε0r4πε0RRq??dq???q

r6 －14 地球和电离层可当作球形电容器，它们之间相距约为100 km，试估算地球－电离层系统的电容．设地球与电离层之间为真空．解 由于地球半径R1 ＝6.37×10 m；电离层半径R2 ＝1.00×10 m ＋R1 ＝6.47 ×10 m，根据球形电容器的电容公式，可得

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5

6

C?4πε0R1R2?4.58?10?2R2?R1F

6 －15 两线输电线，其导线半径为3.26 mm，两线中心相距0.50 m，导线位于地面上空很高处，因而大地影响可以忽略．求输电线单位长度的电容． 解 由教材第六章6 －4 节例3 可知两输电线的电势差

U?因此，输电线单位长度的电容

λd?R lnπε0Rλd?Rd?πε0/ln?πε0/ln URR代入数据 C?5.52?10?12F

C?6 －16 电容式计算机键盘的每一个键下面连接一小块金属片，金属片与底 板上的另一块金属片间保持一定空气间隙，构成一小电容器（如图）。当按下按键时电容发生变化，通过与之相连的电子线路向计算机发出该键相应的代码信号。假设金属片面积为50.0 mm ，两金属片之间的距离是0.600 mm。如果电路能检测出的电容变化量是0.250 pF，试问按键需要按下多大的距离才能给出必要的信号？

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分析 按下按键时两金属片之间的距离变小，电容增大，由电容的变化量可以求得按键按下的最小距离： 解 按下按键时电容的变化量为

?11?ΔC?ε0S???

?dd0?按键按下的最小距离为

2ΔCd0minΔdmin?d0?d??0.152mm

d0ΔC?ε0S6 －17 盖革－米勒管可用来测量电离辐射．该管的基本结构如图所示，一半径为R1 的长直导线作为一个电极，半径为R2 的同轴圆柱筒为另一个电极．它们之间充以相对电容率εｒ ≈1 的气体．当电离粒子通过气体时，能使其电离．若两极间有电势差时，极间有电流，从而可测出电离粒子的数量．如以E1 表示半径为R1 的长直导线附近的电场强度．（1） 求两极间电势差的关系式；（2） 若E1 ＝2.0 ×10 V· m ，R1 ＝0.30 mm，R2 ＝20.0 mm，两极间的电势差为多少？

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分析 两极间的电场可以近似认为是无限长同轴带电圆柱体间的电场，由于电荷在圆柱面上均匀分布，电场分布为轴对称．由高斯定理不难求得两极间的电场强度，并利用电场强度与电势差的积分关系U?间的电势差．

解 （1） 由上述分析，利用高斯定理可得E?2πrL?电场强度

?R2R1E?dl 求出两极

1λL，则两极间的ε0E?导线表面（r ＝R1 ）的电场强度

λ 2πε0rλ

2πε0R1λRdr?R1E1ln2 2πε0rR1E1?两极间的电势差

U??E?dr??R1R2R2R1（2） 当E1?2.0?106V?m?1 ，R1 ＝0.30 mm，R2 ＝20.0 mm 时，

U?2.52?103V

6 －18 一片二氧化钛晶片，其面积为1.0 cm ，厚度为0.10 mm．把平行

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平板电容器的两极板紧贴在晶片两侧.（1） 求电容器的电容；（2） 当在电容器的两极间加上12 V电压时，极板上的电荷为多少？ 此时自由电荷和极化电荷的面密度各为多少？ （3） 求电容器内的电场强度．

解 （1） 查表可知二氧化钛的相对电容率εr ＝173，故充满此介质的平板电容器的电容

C?εrε0S?1.53?10?9F d（2） 电容器加上U ＝12 V 的电压时，极板上的电荷

Q?CU?1.84?10?8C

极板上自由电荷面密度为

σ0?晶片表面极化电荷密度

Q?1.84?10?8C?m-2 S?1????1??σ0?1.83?10?4C?m-2 σ0?εr?（3） 晶片内的电场强度为

E?U?1.2?105V?m-1 d－８

6 －19 如图所示，半径R ＝0.10 m 的导体球带有电荷Q ＝1.0 ×10C，

导体外有两层均匀介质，一层介质的εr＝5.0，厚度d ＝0.10 m，另一层介质为空气，充满其余空间．求：（1） 离球心为r ＝5cm、15 cm、25 cm 处的D 和E；（2） 离球心为r ＝5 cm、15 cm、25 cm 处的V；（3） 极化电荷面密度σ′．

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