V??E?dr??R1R2λλR??eln2 2πε0r2πε0R1负号表示阳极电势高于阴极电势．阴极表面电场强度

E??电子在阴极表面受力

λVer?e

R2r2πε0R1R1lnR1F??eE?4.37?10?14erN

这个力尽管很小，但作用在质量为９.1１ ×10加速度可达重力加速度的5 ×105 倍．

１

－3１

kg 的电子上，电子获得的

6 －8 一导体球半径为R１ ，外罩一半径为R2 的同心薄导体球壳，外球壳所带总电荷为Q，而内球的电势为V０ ．求此系统的电势和电场的分布． 分析 若V0?Q，内球电势等于外球壳的电势，则外球壳内必定为等

4πε0R2势体，电场强度处处为零，内球不带电．

若V0?Q，内球电势不等于外球壳电势，则外球壳内电场强度不

4πε0R2为零，内球带电．一般情况下，假设内导体球带电q，导体达到静电平衡时电荷的分布如图所示．依照电荷的这一分布，利用高斯定理可求得电场分布．并由Vp???pE?dl或电势叠加求出电势的分布．最后将电场强度和电

势用已知量V0、Q、R１、R2表示．

解 根据静电平衡时电荷的分布，可知电场分布呈球对称．取同心球面为高

2斯面，由高斯定理E?dS?E?r??4πr?E?r????q/ε0，根据不同半径的

5

高斯面内的电荷分布，解得各区域内的电场分布为 r ＜R１时， E1?r??0

q

4πε0r2Q?qr＞R2 时， E2?r?? 24πε0rR１＜r＜R2 时，E2?r??由电场强度与电势的积分关系，可得各相应区域内的电势分布． r ＜R１时，

V1??E?dl??E1?dl??E2?dl??E3?dl?rrR1R2?R1R2?qQ ?4πε0R14πε0R2R１＜r＜R2 时，

V2??E?dl??E2?dl??E3?dl?rrR2?R2?qQ ?4πε0r4πε0R2r＞R2 时，

V3??E3?dl?r?q?Q 4πε0r也可以从球面电势的叠加求电势的分布．在导体球内（r ＜R１）

V1?qQ ?4πε0R14πε0R2qQ ?4πε0r4πε0R2在导体球和球壳之间（R１＜r＜R2 ）

V2?在球壳外（r＞R2）

V3?由题意

q?Q 4πε0rV1?V0?得

qQ ?4πε0R24πε0R1qQ?

4πε0R24πε0R1V1?V0?代入电场、电势的分布得

6

r ＜R１时，

E1?0；V1?V0

R１＜r＜R2 时，

E2?r＞R2 时，

R1V0R1QR1V0(r?R1)Q； ?V??2r4πε0R2rr24πε0R2r2E3?R1V0(R2?R1)QR1V0(R2?R1)Q； ?V??322r4πε0R2rr4πε0R2r6 －9 在一半径为R１ ＝6.0 cm 的金属球A 外面套有一个同心的金属球壳B．已知球壳B 的内、外半径分别为R2＝8.0 cm，R3 ＝10.0 cm．设球A 带有总电荷QA ＝3.0 ×10

－８

C，球壳B 带有总电荷QB ＝2.0×10

－８

C．（１） 求

球壳B 内、外表面上所带的电荷以及球A 和球壳B 的电势；（2） 将球壳B 接地然后断开，再把金属球A 接地，求金属球A 和球壳B 内、外表面上所带的电荷以及球A 和球壳B 的电势．

分析 （１） 根据静电感应和静电平衡时导体表面电荷分布的规律，电荷QA均匀分布在球A 表面，球壳B 内表面带电荷－QA ，外表面带电荷QB ＋QA ，电荷在导体表面均匀分布［图（ａ）］，由带电球面电势的叠加可求得球A 和球壳B 的电势．（2） 导体接地，表明导体与大地等电势（大地电势通常取为零）．球壳B 接地后，外表面的电荷与从大地流入的负电荷中和，球壳内表面带电－QA ［图（ｂ）］．断开球壳B 的接地后，再将球A 接地，此时球A 的电势为零．电势的变化必将引起电荷的重新分布，以保持导体的静电平衡．不失一般性可设此时球A 带电qA ，根据静电平衡时

7

导体上电荷的分布规律，可知球壳B 内表面感应－qA，外表面带电qA －QA ［图（c）］．此时球A 的电势可表示为

VA?qA?qAq?QA??A?0

4πε0R14πε0R24πε0R3由VA ＝0 可解出球A 所带的电荷qA ，再由带电球面电势的叠加，可求出球A 和球壳B 的电势．

解 （１） 由分析可知，球A 的外表面带电3.0 ×10电－3.0 ×10

－８

－８

C，球壳B 内表面带

C，外表面带电5.0 ×10

－８

C．由电势的叠加，球A 和球壳B 的

电势分别为

VA?qA?QAQ?QA??A?5.6?103V

4πε0R14πε0R24πε0R3Q?QBVB?A?4.5?103V

4πε0R3（2） 将球壳B 接地后断开，再把球A 接地，设球A 带电qA ，球A 和球壳B的电势为

VA?qA?qA?QA?qA???0

4πε0R14πε0R24πε0R3?QA?qA VB?4πε0R3R1R2QA?2.12?10?8C

R1R2?R2R3?R1R3－８

解得

qA?即球A 外表面带电2.12 ×10×10

－８

C，由分析可推得球壳B 内表面带电－2.12

－８

C，外表面带电-0.9 ×10C．另外球A 和球壳B 的电势分别为

VA?0

VB??7.29?102V

导体的接地使各导体的电势分布发生变化，打破了原有的静电平衡，导体表 面的电荷将重新分布，以建立新的静电平衡．

6 －10 两块带电量分别为Q１ 、Q2 的导体平板平行相对放置（如图所示），假设导体平板面积为S，两块导体平板间距为d，并且S ＞＞d．试证明（１） 相向的两面电荷面密度大小相等符号相反；（2） 相背的两面电荷面密度大

8