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北京四中八年级培优班数学全等三角形复习题

1．如图1，已知在等边△ABC中，BD＝CE，AD与BE相交于P，则∠APE的度数是 。

2．如图2，点E在AB上，AC＝AD，BC＝BD，图中有 对全等三角形。

3．如图3，OA＝OB，OC＝OD，∠O＝60°，∠C＝25°，则∠BED等于 度。 4．如图4所示的2×2方格中，连接AB、AC，则∠1＋∠2＝ 度。

5．如图5，下面四个条件中，请你以其中两个为已知条件，第三个为结论，推出一个正确的命题。（ ）

①AE＝AD；②AB＝AC；③OB＝OC；④∠B＝∠C。

16．如图6，在△ABC中，∠BAC＝90°，延长BA到点D，使AD＝AB，点E、F分别为边BC、AC2的中点。（1）求证：DF＝BE； （2）过点A作AG∥BC，交DF于点G，求证：AG＝DG。 7．如图7，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，AB＞AD，下列结论正确的是（ ） A. AB－AD＞CB－CD B. AB－AD＝CB－CD C. AB－AD＜CB－CD D. AB－AD与CB－CD的大小关系不确定 9．如图9，在△ABC中，AC＝BC＝5，∠ACB＝80°，O为△ABC中一点，∠OAB＝10°，∠OBA＝30°，则线段AO的长是 。 10．如图10，已知BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，点P在BD的延长线上，BP＝AC，点Q在CE上，CQ＝AB。求证：（1）AP＝AQ；（2）AP⊥AQ。 C'11．如图11，在△ABC中，∠C＝60°，AC＞BC，又△ABC′、△BCA′、△CAB′都是△ABC形外的等边三角形，而点D在AC上，且BC＝DC。 A（1）证明：△C′BD≌△B′DC； BD（2）证明：△AC′D≌△DB′A； 12．如图12，在△ABC中，D、E分别是AC、BC上的点，若△ADB≌EDB≌EDC，则∠C的度数为 。 A'B'CB13．如图13，已知△ABC的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中图11和△ABC全等的图形是 。 ??7250?50acaCE⊥AB，垂足分别为14．如图14，在△ABC中，AD⊥BC，D、E，AD、CE交于H点，请你添加一个丙　乙甲AEH≌△适当的条件： ? ，使△CEB。 ?7250?50?5815．如图15，在△ABC中，已知AB要使AD＝需要添加的一个条件是 a 。 AAE，C＝AC，acb16．有一腰长为5㎝，底边长为4㎝的等腰三角形纸片，沿着底边上的中线将纸片剪开，得到两个全等的直角三角形纸片，用这两个直角三角形纸片拼成的平面图形中有 个不同的四边形。 17．如图16，△ABF和△ADC是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180°形成的，若∠1：∠2：∠3＝28：5：3，则∠α的度数为 。 A18．如图17，已知CE⊥AD于E，BF⊥AD于F，你能说明△BDF和△CDE全等吗？

E若能，请你说明理由；若不能，在不用增加辅助线的情况下，请添加其中一个适当的条件，这个条件

BCD是 ，来说明这两个三角形全等，并写出

F证明过程。

D图1720．如图20，在△AFD和△BEC中，点A、E、F、C在同A一

直线上，有下面四个论断：①AD＝CB；②AE＝CF；③∠B＝E∠D；④AD∥BC。请用其中有一个作为条件，余下的一个作

F- 0 - 内部资料 注意保管

BC图20- 1 -

为结论，编一道数学问题，并写出解答过程。

21．如图21－①，小明剪了一个等腰梯形ABCD，E其中AD∥BC，AB＝DC；又剪了一个等边△EFG，

E同桌的小华拿过来拼成如图②的形状，她发现AD

与FG恰好完全重合，于是她用透明胶带将梯形

AA(F)D(G)DABCD与△EFG粘在一起，并沿EB、EC剪下。小华得到的△EBC是什么三角形？请你作出判断并说GCFBCB明理由。

①②22．如图22，在△ABC与△DEF中，给出以下六AD图21个条件：①AB＝DE；②BC＝EF；③AC＝DF；④∠A

＝∠D；⑤∠B＝∠F；⑥∠A＝∠D，以其中三个条件作为已知，不能判断△ABC与△DEF全等的是（ ） A. ①⑤② B. ①②③ C. ④⑥① D. BF②③CE④

图2223．如图23（1），在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中

点，将△ADE沿线段DE向下折叠，得到图23（2），下列关于图23（2）的四个结论中，不一定成立的是（ ） A. 点A落在BC边的中点 B. ∠B＋∠1＋∠C＝180° C． △DBA是等腰三角 D. DE∥BC 24．如图24，已知MB＝ND，∠MBA＝∠NDC，下列不能判定△ABM≌△CDN的条件是（ ） A. ∠M＝∠N B. AB＝CD C. AM＝CN D. AM∥CN 25．如图25，在△ABC中，点D在AB上，点E在BC上，BD＝BE。

A（1）请你再添加一个条件，使得△BEA≌△BDC，并给出证明，你添加的条件是： 。并给出证明。 （2）根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形： （只要求写出一对全等三角形，不再添加其他线段，不再标注或使用其他

DF字母，不必写出证明过程）。 26．如图26，在△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于D点，EB在ADCAE上，且DE＝CD，求证：BE＝AC。 27．已知：如图27，给出下列三个式子：①EC＝BD；②∠BDA＝∠图25ACEA；③AB＝AC；请将其中的两个式子作为题设，一个式子作为结E论，构成一个真命题（收发室形式：如果……，那么……），并给出证明。 DCEBDA28．如图28，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，已知∠BADC＝∠BCD，AD＝BC，求证：AO＝BO。 图26O29．如图29，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同C一直线ADB上，下面有四个条件，请你在其中选3个作为题设，余下一

图27个作为结论，写一个真命题，并加以证明。 CD①AB＝DE；②AC＝DF；③∠ABC＝∠DEF；④BE＝CF。 图2830．如图30，已知△ABC为等边三角形，D、E、F分别在边BC、

BECFCA、AB上，且△DEF也是等边三角形。

图29（1）除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证

明你的猜想是正确的；

（2）你所证明相等的线段，可以通过怎样的变化想到得到？写出变化过程。

31．如图31，点B在AE上，∠CAB＝∠DAB，要使△ABC≌△ABD，可补充的一个条件是： （写一个即可）。

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32．如图32，AC交BD于点O，请你从下面三项中选出两个作为

一个为结论，写出一个真命题，并加以证明。

①OA＝OC；②OB＝OD；③AB∥DC。

33．如图33，要在湖的两岸A、B间建一座观赏桥，由于条件法直接度量A、B两点间的距离。请你用学过的数学知识按以下

A计一测量方案。

（1）画出测量图案；

（2）写出测量步骤（测量数据用字母表示）； （3）设计AB的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表34．如图34，在△ABC中，D是AB上一点，DF交AC于点E，AE＝CE，AB与CF有什么位置关系？证明你的结论。 35．如图35，OP是∠AOC和∠BOD的平分线，OA＝OC，OB＝D证：AB＝CD。 36．如图36，已知AB＝AC， B（1）若CE＝BD，求证：GE＝GD； （2）若DE＝mBD（m为正数），试猜想GE与GD有何关系。（只A结论，不证明） ADCOB条件，另

限制，无要求设

图32F示）。 DE＝FE，OD。求

OECAB图34PDC写

37．复习“全等三角形”知识时，都是布置了一道作QCA业题： BGG“如图37（1），已知在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC图36E内任意一点，将AP绕点A顺时针旋转至AQ，使∠QAP＝∠BAC，连接BQ、CP，则BQ＝CP。” QP小亮是个爱动脑筋的同学，他通过图（2）的分析，P证明了△ABQ≌△ACP，从而证得BQ＝CP，之后，他BFEC将点P移到等腰三角形ABC之外，原题中其他条件不(2)(1)图37变，发现“BQ＝CP”仍然成立，请你就图（2）给出证明。 38．文文和彬彬在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”已知：如图，在△ABC中，这一命题

?B＝?C。时，画出图形，写出“已知”“求证”（如图38），她们对各自求证：AB＝AC。所作的辅助线描述如下： A文文：“过点A作BC的中垂线AD，垂足为D”； 彬彬：“作△ABC的角平分线AD”。 数学老师看了两位同学的辅助线作法后说：“彬彬的作法是正确的，而文文的作法需要订正。” （1） 请你简要说明文文的辅助线作法错在哪里； BC（2） 根据彬彬的辅助线作法，完成证明过程。 D39．将两块全等的含30°角的三角尺如图39（1）摆放在一起，它们的较图38短直角边长为3。 （1）将△ECD沿直线l向左平移到图（2）的位置，使E点落在AB上，则CC′＝ ；

（2）将△ECD绕点C逆时针旋转到图（3）的位置，使点E落在AB上，则△ECD绕点C旋转的度数＝ ；

（3）将△ECD沿直线翻折到图（4）的位置，ED′与AB相交于F，求证：AF＝FD′。 40．已知：点O至△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB＝OC。 （1）如图40（1），若点O在边BC上，求证：AB＝AC； （2）如图（2），若点O在△ABC的内部，求证：AB＝AC；

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图35D- 3 -

（3）若点O在△ABC的外部，AB＝AC成立吗？请画图表示。

41．下列条件中，能判定两个直角三角形全等的是（ ） A. 两个锐角相等 B. 两条边对应相等

C. 一条边与一个锐角对应相等 D. 斜边与一个锐角对应相等

42．如图43，AD是△ABC的中线，E、F分别在AB、AC上，且DE⊥DF，则（ ） A. BE＋CF＞EF B. BE＋CF＝EF

C. BE＋CF＜EF D. BE＋CF与EF的大小关系不确定

43．如图44，在△ABC中，E、D分别是边AB、AC上的点，BD、CE交于F，AF的延长线交BC于H点，若∠1＝∠2，AE＝AD，则图中的全等三角形共有（ ）对。 A. 3 B. 5 C. 6 D. 7

44．如图45，将△ABC绕着C点按顺时针方向旋转20°，B点落在B′点位置，A点落在A′点位置，若AC⊥A′B′，则∠BAC＝ 。 45．如图46，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4。将矩形ABCD沿AC折叠，则重叠部分△AFC的面积为 。 46．如图47，设正△ABC的边长为2，M是AB边上的中点，P是BC边上的任意一点，PA＋PM的最大值和最小值分别记为s和t，则s2－t2＝ 。 47．如图48，D为等边△ABC内一点，DB

AA'＝DA，BF＝AB，∠DBF＝∠DBC，则∠BFD的

度数为 °。 DD'48．如图49，在△ABC和△A′B′C′中，CD、C′D′分别是∠ACB、A′C′B′的角平分线，且CD＝C′D′，AB＝A′B′，B∠CB'C'ADC＝∠A′D′C′。你能判断△ABC与△

图49A′B′C′全等吗？如果能，请给出证明；如果不能，请说明理由。 A49．如图50，△ABC是正三角形，△A1B1C1的三条边C1A1B1、

B1C1、C1A1交△ABC各边于C2、C3、A2、A3、B2、B3，已知

222A3A2C3＝C2B3＝B2A3，且C2C3＋B2B3＝A2A3，请你证明：A1B1⊥

C1A1。 A2提示：如图过A3作A3M∥C1A1，过B3作B3M∥AB。连结C2M、B2B1A2M。

C3△MB3C2为正三角形。四边形MC2C3A2是平行四边形 BCB3C2有MA22＋A3M2＝A2A32 A1A3M⊥A2M A1B1⊥C1A1。 图5050．如图51，点C在线段AB上，DA⊥AB，EB⊥AB，FC⊥AB，且DA＝BC，EB＝AC，FC＝AB，∠AFB＝51°，求∠DFE的度数。 提示：连结AE、BD

△ABE≌△FCA △ABD≌△CFB △AEF △BDF都等腰直角三角形。

C 51．如图52，已知AB＝CD＝AE＝BC＋DE＝2，∠ABC＝∠AED＝90°，求

五边形ABCDE的面积。

B 提示：旋转△AED至△ABF处。△ACF≌△ACD

BD 图52 B52．如图53，在Rt△ABC中，∠ACB＝GDFEC- 3 - DFEA KE 内部资料 注意保管

AKAC图53