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法二：设所求椭圆方程为＋＝k1(k1>0)或＋＝k2(k2>0)，将点M的坐标代入可得
126126144131xy3yx1
＋＝k1或＋＝k2，解得k1＝，k2＝，故＋＝或＋＝，即所求椭圆的标准方1261264212641262程为＋＝1或＋＝1.
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2
[规律方法] 利用椭圆的几何性质求标准方程的思路 1．利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是： (1)确定焦点位置； (2)设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)； (3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b＝a－c，e＝等． 2．在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个． 2222
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2
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x2y2y2x2
x2y2y2x2
cax2y2x2y2提醒：与椭圆2＋2＝1(a>b>0)有相同离心率的椭圆方程为2＋2＝k1(k1>0，焦点在xababy2x2轴上)或2＋2＝k2(k2>0，焦点在y轴上)． ab[跟踪训练] 2．(1)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是(3,0)，则椭圆的标准方程为( )
A.＋＝1 916C.
＋＝1 1625
x2y2
B.D.
＋＝1 2516＋＝1 169
x2x2
y2
x2y2y2
2a＋2b＝18，??
B [由题意，得?c＝3，
??a2＝b2＋c2，
??a＝5，
解得?
??b＝4.
因为椭圆的焦点在x轴上， 所以椭圆的标准方程为＋＝1.]
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(2)已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，椭圆的
x2y2
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2
长轴长为6，且cos∠OFA＝，则椭圆的标准方程是________．
3
x2y2
2
＋＝1或＋＝1 [因为椭圆的长轴长是6，cos∠OFA＝，所以点A不是长轴的端95593
x2y2
点(是短轴的端点)．
所以|OF|＝c，|AF|＝a＝3，
c2222
所以＝，所以c＝2，b＝3－2＝5，
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所以椭圆的方程是＋＝1或＋＝1.]
9559
x2y2x2y2
求椭圆的离心率 [探究问题] 1．已知F是椭圆的左焦点，A，B分别是其在x轴正半轴和y轴正半轴上的顶点，P是椭圆上的一点，且PF⊥x轴，OP∥AB，怎样求椭圆的离心率？
x2y2
提示：如图，设椭圆的方程为2＋2＝1(a＞b＞0)，P(－c，m)．
ab∵OP∥AB， ∴△PFO∽△BOA， ∴＝，①
又P(－c，m)在椭圆上，
cmabc2m2
∴2＋2＝1.② ab2c将①代入②，得2＝1，
2
a122
即e＝，∴e＝. 22
x2y2
2．已知椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1(－c,0)，A(－a，0)，B(0，b)是两个顶
ab点，如果F1到直线AB的距离为b7
，求椭圆的离心率e.
提示：由A(－a,0)，B(0，b)，得直线AB的斜率为kAB＝， 故AB所在的直线方程为y－b＝x， 即bx－ay＋ab＝0.
baba最新中小学教案、试题、试卷
|－bc＋ab|b又F1(－c,0)，由点到直线的距离公式可得d＝＝，
a2＋b27∴7·(a－c)＝a＋b. 又b＝a－c，
整理，得8c－14ac＋5a＝0，
2
即8??－14＋5＝0.
a152
∴8e－14e＋5＝0，∴e＝或e＝(舍去)．
241
综上可知，椭圆的离心率e＝.
2
已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，则该椭圆的离心率是________.
【导学号：97792062】
[思路探究] △ABF2为正三角形?∠AF2F1＝30°?把|AF1|，|AF2|用C表示． [解析] 不妨设椭圆的焦点在x轴上，因为AB⊥F1F2，且△ABF2
为正三角形，所以在Rt△AF1F2中，∠AF2F1＝30°，令|AF1|＝x，则|AF2|＝2x，所以|F1F2|＝|AF2|－|AF1|＝3x＝2c，再由椭圆的定义，可知|AF1|＋|AF2|＝2a＝3x，
2c3x3所以e＝＝＝. 2a3x3[答案]
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?c???
ca[规律方法] 求椭圆离心率及范围的两种方法 (1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a＝b＋c求出c或a，再代入公式e＝求解． (2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a＝b2222ca22ca＋c，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围． [跟踪训练] x2y2
3．(1)椭圆2＋2＝1(a>b>0)的一个焦点为F，该椭圆上有一点A，满足△OAF是等边三
ab角形(O为坐标原点)，则椭圆的离心率是( )
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A.3－1 B．2－3 C.2－1 D．2－2
x2y2
(2)椭圆2＋2＝1(a>b>0)的两焦点为F1，F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分
ab正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为________．
(1)A (2)3－1 [(1)如图，设F(c,0)，由△OAF是等边三角形，
c3c3c??c得A?，，因为点A在椭圆上，所以有?2＋2＝1 ①，在
4a4b?22?
椭圆中有a＝b＋c ②，联立①②，得c＝(4－23)a，即c＝(3－1)a，则其离心率e＝＝3－1.
(2)法一 如图，∵△DF1F2为正三角形，N为DF2的中点，∴F1N⊥F2N， ∵|NF2|＝c，
∴|NF1|＝|F1F2|－|NF2|＝4c－c＝3c， 由椭圆的定义可知|NF1|＋|NF2|＝2a， ∴3c＋c＝2a， ∴e＝＝2
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22
caca23＋1
＝3－1.
法二 注意到焦点三角形NF1F2中，∠NF1F2＝30°，∠NF2F1＝60°，∠F1NF2＝90°，则sin∠F1NF2sin 90°1
由离心率的三角形式，可得e＝＝＝＝3
sin∠NF1F2＋sin∠NF2F1sin 30°＋sin 60°13
＋22－1.]
[当 堂 达 标·固 双 基]
x2y2x2y2x2y2
1．已知椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)与椭圆＋＝1有相同的长轴，椭圆2＋2＝1(a＞bab2516ab＞0)的短轴长与＋＝1的短轴长相等，则( ) 219
A．a＝15，b＝16 B．a＝9，b＝25
C．a＝25，b＝9或a＝9，b＝25 D．a＝25，b＝9
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y2x2
x2y222
D [由题意得，椭圆2＋2＝1的焦点在x轴上，且a＝25，b＝9.]
ab1
2．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是( )
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