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第1课时 椭圆的简单几何性质
学习目标：1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形．(重点)2.根据几何条件求出曲线方程，利用曲线的方程研究它的性质，并能画出相应的曲线．(重点，难点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 范围 对称性 顶点 轴长 焦点 焦距 2.离心率 (1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率．
x2y2＋＝1(a＞b＞0) a2b2－a≤x≤a且－b≤y≤b y2x2＋＝1(a>b>0) a2b2－b≤x≤b且－a≤y≤a 对称轴为坐标轴，对称中心为原点 A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0) 短轴长|B1B2|＝2b，长轴长|A1A2|＝2a F1(－c,0)，F2(c,0) |F1F2|＝2c F1(0，－c)，F2(0，c) ca(2)性质：离心率e的范围是(0,1)．当e越接近于1时，椭圆越扁；当e越接近于0时，椭圆就越接近于圆．
思考：(1)离心率e能否用表示？ (2)离心率相同的椭圆是同一个椭圆吗？
2
[提示] (1)e＝2＝2
ba21－??.
aca2
a－b?b?＝1－??，所以e＝2
a?a?
22
?b?
??
(2)不是．离心率相同的椭圆焦距与长轴的长的比值相同．
[基础自测]
1．思考辨析
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x2y2
(1)椭圆2＋2＝1(a>b)的长轴长为a，短轴长为b.
ab(2)椭圆的离心率越大，则椭圆越接近于圆．
( ) ( )
(3)若一个矩形的四个顶点都在椭圆上，则这四个顶点关于椭圆的中心对称． [答案] (1)× (2)× (3)√
2．椭圆6x＋y＝6的长轴的端点坐标是( ) A．(－1,0)，(1,0) B．(－6,0)，(6,0) C．(－6，0)，(6，0) D．(0，－6)，(0，6)
D [椭圆方程可化为x＋＝1，则长轴的端点坐标为(0，±6)．]
63．椭圆25x＋9y＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( )
【导学号：97792060】
A．5,3,0.8 C．5,3,0.6
B．10,6,0.8 D．10,6,0.6
2
2
2
2
2
y2
c4
B [椭圆方程可化为＋＝1，则a＝5，b＝3，c＝25－9＝4，e＝＝，故B.]
925a5
[合 作 探 究·攻 重 难]
x2y2
根据椭圆的方程研究其几何性质 122
设椭圆方程mx＋4y＝4m(m＞0)的离心率为，试求椭圆的长轴的长和短轴的2
长、焦点坐标及顶点坐标．
x2y2
[解] 椭圆方程可化为＋＝1.
4m(1)当0＜m＜4时，a＝2，b＝m，c＝4－m，∴e＝＝
ca4－m1
＝，∴m＝3，∴b＝3，22
c＝1，∴椭圆的长轴的长和短轴的长分别是4,23，焦点坐标为F1(－1，0)，F2(1，0)，
顶点坐标为A1(－2，0)，A2(2，0)，B1(0，－3)，B2(0，3)．
(2)当m＞4时，a＝m，b＝2，∴c＝m－4，∴e＝＝cam－4116
＝，解得m＝，∴a＝23m43238323??
，c＝，∴椭圆的长轴的长和短轴的长分别为，4，焦点坐标为F1?0，－?，3333??
F2?0，
??23?43???43?
?，顶点坐标为A1?0，－?，A2?0，?，B1(－2,0)，B2(2,0)． 3?3?3???
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[规律方法] 用标准方程研究几何性质的步骤 (1)将椭圆方程化为标准形式． (2)确定焦点位置．(焦点位置不确定的要分类讨论) (3)求出a，b，c. (4)写出椭圆的几何性质． 提醒：长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是a，b，c的两倍． [跟踪训练] 1．已知椭圆C1：＋＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆
10064
x2y2
C2的焦点在y轴上．
(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质．
[解] (1)由椭圆C1：＋＝1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标(6,0)，
100643
(－6,0)，离心率e＝.
5
(2)椭圆C2：＋＝1.
10064
性质：①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10； ②对称性：关于x轴、y轴、原点对称；
③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)； 3
④离心率：e＝. 5
x2y2
y2x2
利用几何性质求椭圆的标准方程 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)椭圆过点(3,0)，离心率e＝
6； 3
(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8； (3)求经过点M(1,2)，且与椭圆＋＝1有相同离心率的椭圆的标准方程.
126
【导学号：97792061】
[思路探究] (1)焦点位置不确定，分两种情况求解． (2)利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解．
(3)法一：先求离心率，根据离心率找到a与b的关系．再用待定系数法求解．
x2y2
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法二：设与椭圆
x2
＋＝1有相同离心率的椭圆方程为＋＝k1(k1>0)或＋＝y2x2y2y2x2
12
612(k2>0)
[解] (1)若焦点在x轴上，则a＝3， ∵e＝c＝6
a3
，∴c＝6， ∴b2
＝a2
－c2
＝9－6＝3. ∴椭圆的方程为x2y2
9＋3＝1.
若焦点在y轴上，则b＝3，
∵e＝c＝1－b2aa2＝1－962
a2＝3
，解得a＝27. y2
∴椭圆的方程为27＋x2
9
＝1.
∴所求椭圆的方程为x2＋y2＝1或y2x2
9327＋9
＝1.
x2y2
(2)设椭圆方程为a2＋b2＝1(a＞b＞0)．
如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，
OF为斜边A1A2的中线(高)，
且|OF|＝c，|A1A2|＝2b， ∴c＝b＝4，∴a2
＝b2
＋c2
＝32， 故所求椭圆的方程为x2y2
32＋16
＝1.
(3)法一：由题意知e2
＝1－b21b2122
a2＝2，所以a2＝2
，即a＝2b
x2y2设所求椭圆的方程为y2x2
2b2＋b2＝1或2b2＋b2＝1.
将点M(1,2)代入椭圆方程得 142bb＝1或41
2＋22b2＋b2＝1 解得b2＝92
2
或b＝3.
故所求椭圆方程为x2y2y2x2
9＋9＝1或6＋3
＝1.
2
6126
k2