《概率统计》练习题及参考答案 下载本文

8.设(X1,X2,?Xn)是总体X的一个容量为n的样本,S2为该样本的样本方差。另设总

P2体X的方差DX??2存在,试证Sn????2。

习题六 (A)

1.设总体具有分布列 X 1 2 3 pk ?2 2?(1??) (1??)2 其中?(0???1)为未知参数。已知取得了样本值x1?1,x2?2,x3?1,试求?的矩估计值和极大似然估计值。

2.设总体分布如下,样本值为:230,243,185,240,228,196,246,200。 试求未知参数的矩估计。

(1)X~U(0,?);(2)X~N(?,?),?,?均为未知参数; (3)X~p(?);(4)X~e(?)。

3.设总体分布如下,x1,x2,?,xn是样本,试求未知参数的极大似然估计。

22??x??1(1)X~p(?);(2)X~e(?);(3)X~B(m,p);f(x)???020?x?1其他(?>0)。

4.设X1,X2,X3是来自总体X~N(?,?)的样本,则当a取何值时,

??X1?aX2?X6是未知参数?的无偏估计。

5.设X1,X2,X3,X4是来自总体X~N(?,?)的样本,证明下列各项为?的无偏估计,并判断出哪一个为最有效的估计量。

2131614 (1)X1?2X2?2X3?4X4;(2) ?Xi;(3)0.5X1?0.5X4。

4i?16.设(X1,X2,?Xn)是来自均值为u,方差为?的总体的样本,S2为该样本的样本方

2?1?n222X?nXE(S)??差,证明:(1)S?;(2)。 ?i??n?1?i?1?227.比较总体期望值?的两个无偏估计

n1nX??Xi, X???aiXini?1i?1?a(?aii?1i?1nni?0)的有效性。

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8. 一个电子线路上电压表的读数X服从??,??1?上的均匀分布,其中?是该线路上电压的真值,但它是未知的,假设(X1,X2,?Xn)是此电压表上读数的一组样本,

(1)证明样本均值不是的无偏估计;

(2)求?的矩估计,证明它是?的无偏估计。

9.某公司职工年收入服从标准差为4(单位:万元)的正态分布,今从该公司随机抽取16名职工,测得平均年收入为3.6万元,试求该公司职工收入的置信度为95%的置信区间。

10.从服从正态分布N(?,?)的总体中抽取容量为9的样本,样本均值x?150,样本标准差s?14,试求总体均值?的置信水平为95%的置信区间。

11.已知某种材料的抗压强度X~N(?,?),现随机地抽取10个样品进行抗压试验,测得数据如下:

482 493 457 471 510 446 435 418 394 469 (1)求平均抗压强度?的置信水平为95%的置信区间;

(2)若已知??30,求平均抗压强度?的置信水平为95%的置信区间; (3)求?的置信水平为95%的置信区间。

12.某车间生产的零件长度服从正态分布N(?,?),现从该车间生产的零件中随机抽取9个,测得其长度为(单位:m):

45.3, 45.4, 45.1, 45.3, 45.5, 45.7, 45.4, 45.3, 45.6

试求总体标准差?的置信水平为95%的置信区间。

13.设总体X服从正态分布N(?,?),其中u未知,?=4。设(X1,X2,?Xn)是其一个样本,当n=16时,试求置信水平分别为0.9和0.95的的置信区间的长度。

14.已知某炼铁厂铁水含碳量服从正态分布N(4.55,0.108)。现在测定了9炉铁水,其平均含碳量为4.484.如果估计方差没有变化,可否认为现在生产的铁水平均含碳量仍为4.55(?=0.05)?

15. 从一批灯泡中抽取50个灯泡的随机样本,算得样本均值x?1900小时,样本标准差s?490小时,以??0.001的水平验证这批灯泡的平均使用寿命是否为2000小时?

16.某种导线的电阻服从正态分布(u,0.005),今从新生产的一批导线中抽取9根,测其电阻,得s?0.007?。对于??0.05,能否认为这批导线电阻的标准差仍为0.005?

17.机器包装食盐,假设每袋盐的净重服从正态分布,规定每袋标准重量为500g,标准差不能超过10g.某天开工后,未检查其机器工作是否正常,从装好的食盐中随机抽取9袋,测其净重(单位:g)为497 507 510 475 484 488 524 491 515。 问这天包装机工作是否正常(??0.05)?

18.已知某一试验,其温度服从正态分布N(u,?),现在测量了温度的5个值为 1250 1265 1245 1275

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22222222问是否可以认为u?1227(??0.05)?

19.某电工器材厂生产一种保险丝。测量其熔化时间,依平常情况方差为400,今从某天产品中抽取容量为25的样本,测量其熔化时间并计算得x?62.24,s?404.77,问这天保险丝熔化时间分散度与平常有无显著差异(取??0.05,假定熔化时间服从正态分布)?

20.从两处煤矿各抽样数次,分析其含灰率(%)如下:

甲矿:24.3 20.8 23.7 21.3 17.4 乙矿:18.2 16.9 20.2 16.7

假定各煤矿含灰率都服从正态分布,问甲乙两煤矿的含灰率有无显著差异(??0.05)?

21.某种羊毛在处理前后,各抽取样本,测得含脂率(%)如下:

处理前:19 18 21 30 66 42 8 12 30 27 处理后:15 13 7 24 19 4 8 20

羊毛含脂率按正态分布,问处理后含脂率的标准差有无显著变化(??0.05)?

22.两台车床生产同一种滚珠(滚珠直径按正态分布)。从中分别抽取8个和9个产品:

甲车床:15.0 14.5 15.2 15.5 14.8 15.1 15.2 14.8

乙车床:15.2 15.0 14.8 15.2 15.0 15.0 14.8 15.1 14.8 比较两台车床生产的滚珠直径的方差是否有明显差异(??0.05)?

23.甲乙两个铸造厂生产同一种铸件,假设两厂铸件的重量都服从正态分布,测得重量如下(单位:kg):

甲厂:93.3 92.1 90.1 95.6 90.0 94.7 乙厂:95.6 94.9 96.2 95.1 95.8 96.3

问乙厂铸件重量的方差是否比甲厂的小(??0.05)?

24.某场使用两种不同的原料生产同一类型产品,随机选取使用原料A生产的样品22件,测得平均质量为2.36(kg),样本标准差为0.57(kg)。取使用原料B生产的样品24件,测得平均质量为2.55(kg),样本标准差为0.48(kg)。设产品质量服从正态分布,两个样本独立。问能否认为使用原料B生产的产品质量较使用原料A显著大(??0.05)?

2(B)

1. 设X1,X2,?,Xn是来自总体X~N(?,?)的样本,并且c2?(Xi?1n?1i?1?Xi)2是参数

?2的无偏估计,求常数c。

2. 证明在样本的一切线性组合中,X是总体期望值?的无偏估计中有效的估计量。 3.在一批货物的容量为100的样本中,经检验发现有16只次品,试求这批货物次品率的置信水平为95%的置信区间。

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习题七 (A)

1.在一个单因素试验中,因素A有三个水平,每个水平各做4次重复试验,具体数据如下:

水平 数据

一水平 8,5 , 7, 4 二水平 6,10 ,12,9 三水平 0,1, 5, 2 试计算误差平方和Se、因素A的平方和SA、总平方和ST,并指出它们各自的自由度。

2.在单因素方差分析中,

ST???(Xij?X)???[(Xij?Xi)?(Xi?X)]2

2i?1j?1i?1j?1rnirni证明

??(Xi?1j?1rniij?Xi)(Xi?X)?0。

3.在单因素方差分析中,因素A有三个水平,每个水平各做4次重复试验,请完成下列方差分析表,并在显著性水平??0.05下对因素A是否显著作出检验。

方差来源

因素

误差 总和

平方和 4.2 2.5

自由度

均方和

F值

6.7

4.某医院应用克矽平治疗矽肺,治疗前、中、后期患者血液中黏蛋白含量(mg%)观察结果如下:

患者编号 治疗前 治疗中 治疗后

1

2 3 4 5 6 7

6.5 7.3 7.3 3.0 7.3 5.6 7.3

4.5 4.4 5.9 3.6 5.5 4.5 5.2

3.5 3.6 3.7 2.6 4.3 3.7 5.0

试问用克矽平治疗矽肺对降低血液中黏蛋白含量是否有作用(??0.05)?

5.某灯泡厂试验四种不同材料的灯丝对灯泡寿命的影响,结果如下:

材料

A1 A2 A3 A4

灯泡寿命(单位/h)

1600,1650,1680,1800,1720 1580,1640,1740,1700 1640,1730,1550

1510,1570,1680,1600

(1)试问灯泡寿命是否因为灯丝材料不同而有显著差异(??0.05)? (2)给出不同材料的效应的最大似然估计。

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