15.由某机器生产的螺柱的长度（cm）服从正态分布N(10.05,0.06)，规定长度在范围 10.05±0.12内为合格品，求一螺柱为合格品的概率。

16.某种型号器件的寿命X（以小时计）具有密度函数

2?1000?,x?1000, f(x)??x2?其它.?0,现有大批此种器件（设各器件损坏与否相互独立），任取5只，问其中至少有2只寿命大于

1500小时的概率是多少？

x?0?0,? 17.设连续型随机变量X的分布函数为F(x)??ax2,0?x?1，求：（1）系数a；（2）

?1,x?1?（3）密度函数f(x)。 p{0.3?X?0.7}；

18.设(X,Y)的联合分布为下表

X Y 0 1 0 0.1 0.8 1 0.1 0 （1）求X,Y的边缘分布；（2）判别X,Y是否独立。

19.设二维随机变量(X,Y)只能取数组?0,0?,??1,1?,??1,?,?2,0?的值，且取这

??1?3?1115些组值的概率依次为,,,，写出(X,Y)的联合分布列并求出X,Y的边缘

631212分布。

20.已知随机变量X,Y的分布列分别为

X -1 1/4 0 1/2 1 1/4 p

Y 0 1/2 1 1/2 p且p{XY?0}?1，求（1）X,Y的联合分布列；（2）X,Y是否独立？为什么？

21.已知二维随机变量(X,Y)的联合联合分布列为

X Y 1 2 0 1/6 1/3 2 1/9 α 3 1/18 β 问当?,?为何值时，X,Y相互独立？

5

?ce?2(x?y),x?0,y?022.设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)??，试求

其它?0,常数c，并判别X,Y是否独立。

?e?(x?y),x?0,y?023.设(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)??，

0,其它?（1）试求联合分布函数F(x,y)；（2）求概率p{(x,y)?G}，其中区域G由x轴，y轴以及直线x?y?1所围成。

?k(1?x),0?y?x?124.设(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)??，求常数k及边缘概

0,其它?率密度，并讨论随机变量X与Y的相互独立性。

25. 已知随机变量X的分布列如下：

X -1 0 1 2 3

p 0.2 0.3 0.2 0.2 0.1 求Y?2X?1，Z?X?1的分布。

26.设(X,Y)的联合概率分布如下表所示， X Y 0 1 2 求Z1?X?Y，Z2?XY的概率分布。 -1 0 2 0.1 0.2 0 0.3 0.05 0.1 0.15 0 0.1 2?e?x,x?0 27.设随机变量X的密度函数为f(x)??，求Y?X2的概率密度。

?0,x?028.设随机变量X的密度函数为f(x)??度函数。

29.设二维随机变量(X,Y)在矩形G?{(x,y)0?x?1,0?y?1}上服从均匀分布，试求边长分别为X和Y的矩形面积Z的分布函数与密度函数。

30.设X与Y分别服从参数为密度函数。

31.设(X,Y)的联合密度函数为

?2x,0?x?1，求Y?2X；Z??X?1的密其它?0,11与的指数分布，并且二者相互独立，求Z?X?Y的23 6

f(x,y)??求Z?X?Y的分布函数与密度函数。

?3x,0?x?1,0?y?x

其它?0,（B）

1.设随机变量X与Y相互独立，且X~p(?1),Y~p(?2)，在已知X?Y?n的条件下，求X的条件分布。

2.设二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度函数为

?212?xy,x2?y?1 f(x,y)??4，

?其它?0,求条件概率f(yx)，并求p{Y?0.75X?0.5}。

3.某商场经统计发现顾客对某商品的日需求量X~N(?,?)??40，且日平均需求量，销售在30~50（件）之间的概率为0.5.若进货不足每件损失利润70元，进货??40（件）

过量每件损失100元，求日最优进货量。

4. 设二维随机变量(X,Y)服从G?{(x,y)0?x?1,0?y?2}上的均匀分布。求（1）（2）Z?min{X,Y}的密度函数。 p{3X?Y}；

5.设随机变量X与Y相互独立，试在以下情况下求Z?X?Y的密度函数： （1）X~U(0,1)，Y~U(0,1)；（2）X~U(0,1)，Y~e(1).

6.设随机变量X与Y独立同分布于标准正态分布，试求Z?2X2?Y2的分布。

7.设随机变量X与Y相互独立同分布，X的密度函数为f(x)，并且Z?max{X,Y}，

W?min{X,Y}，求Z,W的密度函数。

8.有甲、乙两种味道和颜色都极为相似的名酒各8杯，如果从中挑4杯，能将甲种酒全

部挑出来，算是试验成功一次.

（1）某人随机地去猜，问他试验成功一次的概率是多少？ （2）某人声称他通过品尝能区分两种酒，他连续试验10次，成功3次，试推断他是猜对的，还是他确有区分的能力（假设各次试验是相互独立的）.

9.一房间有3扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的，有一只鸟从开着的窗户飞入了房间，它只能从开着的窗户飞出去，鸟在房子里飞来飞去，试图飞出房间，假定鸟是没有记忆的，它飞向各扇窗子是随机的.

7

（1）以X表示鸟为了飞出房间试飞的次数，求X的分布律.

（2）户主声称他养的一只鸟是有记忆的，它飞向任一扇窗子的尝试不多于一次，以Y表示这只聪明的鸟儿为了飞出房间试飞的次数，如户主所说是确实的，试求Y的分布律. （3）求是非次数X小于Y的概率和试飞次数Y小于X的概率.

10.设X与Y独立同分布于标准正态分布N(0,1)，试证明Z?X/Y服从柯西分布。

习题三 （A）

1.设随机变量X的分布列为

X -1 0 0.5 1 2 P 1/3 1/6 1/6 1/12 1/4 求EX，E(?X?1)，EX2。

2.设随机变量X的分布为下表所示，

X 0 1 2

a 1/6 1/2 p

求（1）a；（2）p{1?X?1.5}；（3）EX,DX及E(2X?3)。

3.已知E(X?4)?10,E(X?4)?116，求EX,EX。

4.已知随机变量X服从参数??2的泊松分布，Y?3X?2，求EY,DY。 5.设X的分布列为下表所示

X -1 0 2 3

p 1/8 1/4 3/8 1/4

求EX,EX,E(?2X?1)。

6.已知随机变量X的分布函数为

2222x?0?0?x0?x?4 F(x)???4x?4?1求EX,DX。

7.设随机变量X的密度函数为

?2?2x,0?x?1f(x)??，

其它.?0, 8