选做题部分 极坐标系与参数方程

一、极坐标系

1．极坐标系与点的极坐标

(1)极坐标系：如图4－4－1所示，在平面内取一个定点O，叫做极点，自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．

(2)极坐标：平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从Ox到OM的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．其中ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角． 2．极坐标与直角坐标的互化 点M 互化公式

直角坐标(x，y) 极坐标(ρ，θ) 题型一 极坐标与直角坐标的互化

?1、已知点P的极坐标为(2,)，则点P的直角坐标为 （ ）

4A.（1，1） B.（1，-1） C.（-1，1） D.（-1，-1）

2、设点P的直角坐标为(?3,3)，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系(0???2?)，则点P的极坐标为（ ） A．(32,3?5?5?3?) B．(?32,) C．(3,) D．(?3,) 4444

3．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．

4．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( )

A．ρ＝cos θ B．ρ＝sin θ C．ρcos θ＝1 D．ρsin θ＝1

22

5．曲线C的直角坐标方程为x＋y－2x＝0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为________．

π

6. 在极坐标系中，求圆ρ＝2cos θ与直线θ＝(ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标．

4

题型二 极坐标方程的应用

由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解．

π?π3???θ－1.在极坐标系中，已知圆C经过点P(2，4)，圆心为直线ρsin?3?＝－2与极轴的交点，求圆C的直角坐标方程．

?π?

?2.圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C，点P的极坐标为??4，3?，则

|CP|＝________.

π??

θ＋4?＝1，圆C的圆心的极坐标3.在极坐标系中，已知直线l的极坐标方程为ρsin???

?π?

?是C??1，4?，圆的半径为1.

(i)则圆C的极坐标方程是________； (ii)直线l被圆C所截得的弦长等于________．

π??

θ－6?＝a截得的弦长为4.在极坐标系中，已知圆C：ρ＝4cos θ被直线l：ρsin???23，则实数a的值是________．

二、参数方程

1．参数方程和普通方程的互化

(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．

(2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求

?x＝f?t?，?

出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么，?就是曲线的参数方程．

?y＝g?t??

2．常见曲线的参数方程和普通方程 点的轨迹 普通方程 参数方程 ??x＝x0＋tcos α直线 y－y0＝tan α(x－x0) ?(t为参数) ?y＝y0＋tsin α ?

圆 椭圆 x＋y＝r x2y2＋＝1(a>b>0) a2b2222??x＝rcos θ?(θ为参数) ?y＝rsin θ???x＝acos φ?(φ为参数) ?y＝bsin φ? 题型一 参数方程与普通方程的互化 【例1】把下列参数方程化为普通方程： ?x＝3＋cos θ，(1)? ?y＝2－sin θ；

题型二 直线与圆的参数方程的应用

???x＝1＋t，?x＝2cos θ＋2，

1、已知直线l的参数方程为?(参数t∈R)，圆C的参数方程为?(参

??y＝4－2ty＝2sin θ??

1

x＝1＋2t，??(2)?

3

y＝5＋??2t.

数θ∈[0,2π])，求直线l被圆C所截得的弦长．

2、曲线C的极坐标方程为：ρ=acosθ（a＞0），直线l的参数方程为：（1）求曲线C与直线l的普通方程；（2）若直线l与曲线C相切，求a值．

3、在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为

，（α为参数），以原点O

为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为

．

（Ⅰ）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；

（Ⅱ）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离最小值．