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uA?uP?VSW (2-11) uB?uP?VD (2-12)
uC?uN?VSW (2-13)
将式（2-10）、（2-11）和（2-12）代入到（2-13）中，可以得绕组的中性点电压为：
21uAO?Ud?uN?(VD?eB)33 (2-14)
将式（2-10）、（2-11）和（2-12）分别减去（2-14）中的中性点电压后，可以得到三相绕组的电压表达式分别为:
1uAO?(Ud?VD?eB)?VSM3 （2-15）
1uBO?(Ud?2VD?eB)3 （2-16）
21uCO??Ud?(VD?eB)?VSM33 （2-17）
刚换相的时候B相绕组反电势eB小于0，因此绕组中性点相对于电源负极的电压超过电源电压的2/3，比换流前的Udc/2要大，B相绕组的电流会随着自身反电势的减小而快速衰减，特别是转速较高时B相绕组电流的衰减将会非常迅速。C相绕组具有较大的反相电压，绕组电流会很快地增长，但是增长的速度会越来越慢。A相绕组相电压首先因中性点电压上升而减小，相电流也会减小。但随着B相绕组的反电势减小，A相相电压开始回升，A相绕组电流不再减小而开始增大，等到B相电流衰减到0时，B相绕组没有电流续流二极管关断，中性点电压恢复到Udc/2的水平，并且A相和C相绕组电流大小相等，方向相反，系统又进入两相斩波导通状态。 2）矩阵方程
永磁无刷直流电动机的电磁转矩是由定子绕组中的磁钢与转子磁钢产生的
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磁场相互作用而产生的。定子绕组产生的电磁转矩表达式为：
Te?式中：
1(eAiA?eBiB?ecic) (2-18) ?Te—三相绕组产生的合成电磁转矩；
?—转子的机械角速度。
从式（2-18）中可知，无刷直流电机的电磁转矩的大小与电流成正比，所以控制逆变器输出的方波电流的幅值就可以控制无刷直流电机的转矩。为了产生恒定的电磁转矩，要求定子电流为方波，反电势为梯形波，且在每半个周期内，方波电流的持续时间为120°电角度，梯形波反电势的平顶部分也为120°电角度，两者应严格同步。由于无刷电机采用两相导通方式，任何时刻，只有两相绕组导通，则电磁功率为：
Pe?eAiA?eBiB?ecic?2ESIS (2-19)
因此，电磁转矩又可以表示为：
电机的运动方程为：
Te?TL?J其中：
Te?Pe/??2ESIS/? (2-20)
d??B? (2-21) dtTL—负载转矩；
J—电机的转动惯量； B—阻尼系数
3）无刷直流电动机的传递函数
为了更好地分析无刷直流电机的特性，寻求一种有效的控制方法以得到良好的动态性能，有必要推出无刷直流电机的传递函数，而无刷直流电机与普通直流电机的差别仅在于
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它换相时不用电刷，因此，其动态特性分析与普通直流电机是相同的。由于无刷直流电机采用两相绕组导通运行的方式，根据前面推导的电压方程，可得两相绕组导通时的电压方程为：
uin?Ud?2VSM?2rIS?2(L?M)dIS?2ES dt （2-22）
定义Ke为反电势系数，则有：
ES?K?
定义KT为电磁转矩系数，则：
Te?KTIS 对式（2-21）、（2-22）、（2-23）和（2-24）进行拉氏变换可得：
Te(s)?TL(s)?J?s??(s)?B?(s) uin(s)?2rIS(s?)2(L?M?)?sSI(s?) (2-26)
ES(s)?Ke??(s ) Te(s)?KT?IS(s) (2-28)
根据上述状态画出无刷直流电机的动态模型如图2-9所示。
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（2-23） （2-24） (2-25)
S2E ( s
(2-27)
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Is(s)Te(s)__TL(s)1/(Js+B)Ω(s)uin(s) +12r?2(L?M)KT__+KeEs(s)
图2-9 无刷直流电机动态数学模型
在上述无刷直流电动机的动态模型中，将直流母线的电压uin(s)作为电动机的输入量，输出量为电机的机械角速度?(s)，负载转矩作为系统外部的扰动量。
4、系统控制方案
本课题已明确选择无刷直流电机作为驱动电机，被控对象确定以后，课题开展之前需要确定一个合理的控制方案。控制方案根据电动自行车运行过程中的功能要求来确定。根据系统所要实现的功能，本节主要考虑了四个重要方面:控制结构、控制技术、控制策略、控制芯片等。前两个方面在本节阐述、后两个方面分别在第部分和第部分阐述。 1）控制结构
本课题的主要目的是根据电动自行车调速手柄信号来控制无刷直流电机的速度，需要根据转子的位置信号确定换相操作，所以系统采用三环控制结构:电流环、速度环和位置环。速度环用来控制速度，其输出为电机相电流给定值；电流环用来控制电机的电流，提高电机转矩响应性能；位置环主要是实时采样转子位置信号，为电机换相提供依据。
电动自行车无刷直流电机控制结构框图如下图2-10所示。因电动自行车不存在反向行驶，故转速控制器和电流控制器的输出只有正限幅，没有负限幅。
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