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文章发布时间 : 2024/5/19 14:27:35星期日

高等数学A(下)期末复习题

一、选择题

1. 设函数z?f(x,y)?xy，则下列各式中正确的是（） 22x?y A.f(x,)?f(x,y) B.f(x?y,x?y)?f(x,y) C.f(y,x)?f(x,y) D.f(x,?y)?f(x,y) 2．设f(x,y)?ln(x? A. 2ln(x?yxx2?y2)，其中x?y?0，则f(x?y,x?y)? （）。

1y) B. ln(x?y) C. (lnx?lny) D. 2ln(x?y)

2yx223. 若f(x?y , )?x?y ,则 f(?1 , 2)? （）。

11 B. ? C. 3 D. ?3 334．设f(x,y)?11xf(,)?（），则22xyx?yxyxy2x2yx2y2A.2 B. 2 C. 2 D. 2 2222x?yx?yx?yx?y(xy?1)2?（）. 5. Lim(x,y)?(0,0)xA. 0 B. 1 C. ? D. 不存在 6．极限limx?0y?0x2?y21?x?y?122＝（）。

A. -2 B. 2 C. 不存在 D. 0

x2y27.二重极限lim4的值（）.

x?0x?y4y?0A.0 B.1 C.

1 D.不存在 28.f(x,y)?ln(xy2)?1?x?y的定义域是（）.

A. {(x,y)|x?y?1} B. {(x,y)|0?x?y?1}

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C. {(x,y)|0?x,x?y?1} D. {(x,y)|0?x,0?y,x?y?1} 9．函数z?14?x2?y2?x2?y2?1的定义域是（）

A. {(x,y)|1?x2?y2?4} B. {(x,y)|1?x2?y2?4} C. {(x,y)|1?x2?y2?4} D. {(x,y)|1?x2?y2?4} 10. 设f(x,y)?x3y?xy2?2x?3y?1 ，则fy?( 3, 2 )?（）

A.39 B.40 C.41 D.42 11．设z?x2y?exy，则

?z?y(1,2)?（）

2A. 1?e B. 1?e C. 1?2e D. 1?2e

12.设z?exy，则

222?z|(1,2)?（） ?x2A. 4e B. 4e C. 2e D. 2e 13. f(x,y,z)?A. ?x2?y2?z2，则梯度gradf(1,1,?3)的值为（）．

111； B. ?1,2,?2?； C. ?22?1?11,111,?3??； D. 0 11?14．f(x,y)?2?x?y的极值点是（） A.（1，－1） B. （1，1） C.（0，0） D. （0，2）

15．函数z在点(?f(,xy)x0,y0)处具有偏导数是它在该点存在全微分的 ( )。 A. 必要而非充分条件 B. 充分而非必要条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件

?f(,xy)x16、函数z在点(0,y0)处连续是它在该点偏导数存在的：

A.必要而非充分条件； B.充分而非必要条件；

C.充分必要条件； D.既非充分又非必要条件。

17．设函数z?f(x,y)在点(x0,y0)处可微，且fx?(x0,y0)?0, fy?(x0,y0)?0，

fxx??(x0,y0)?0, fyy??(x0,y0)?0，则函数f(x,y)在(x0,y0)处（）.

A. 必有极值，可能是极大，也可能是极小 B. 可能有极值，也可能无极值

第 2 页共 27 页

C. 必有极大值 D. 必有极小值 18．设f(x,y)?xy,则f(x,y)在(0,0)点处( ).

A. 连续但偏导数不存在 B. 不连续也不存在偏导数 C. 连续且偏导数存在 D. 不连续但偏导数存在

?xy,(x,y)?(0,0)?19. 二元函数f(x,y)??x2?y2在点（0,0）处（）

?(x,y)?(0,0)?0, A. 连续，偏导数存在 B. 连续，偏导数不存在

C. 不连续，偏导数存在 D. 不连续，偏导数不存在

220. 设z?f(x,y)?cos(xy)，则f'')?（） xx(1,2? A.

?? B.? C.? D.??

22xy21．设z?e，则dz＝ ( )。

A. edx B. exy(ydx?xdy) C. ydx?xdy D. exy(dx?dy)

xy?2z22．设二元函数z?ecosy，则?（）

?x?yx A. exsiny B. ex?exsiny C. ?excosy D. ?exsiny

?2z23.设z?cos(xy)，则2＝（）

?y2 A.xsin(xy) B.?xsin(xy) C.xcos(xy) D.?xcos(xy) 24．下列说法正确的是 ( ) A.偏导数存在是该点连续的充分条件 C.偏导数存在是该点可微的必要条件

2222224242B.偏导数存在是该点可微的充要条件 D.偏导数连续是该点可微的充要条件

25．函数u?8xy?2y?4x?6z在原点沿向量a?{2，3，1}方向的方向导数为（）。 A.?814 B.

228144 C.

314 D. ?314

??u26．函数u?x?y?z?3xy在点M(1,1,1)处沿l?{1,2,2}方向的方向导数

?l（） A.

M为

531 B. C. {1,2,2} D. {?1,4,2} 353第 3 页共 27 页

?27．函数u?8xy?2y?4x?6z在原点沿向量a?{2,3,1}方向的方向导数为（）

22A.?83314 B.

814 C.

14 D.?14

28．函数z?2x2?y2在点P(1,1)处的梯度方向的方向导数等于（） A. 5 B. ?5 C. 25 D. ?25 29.设z?ex?2y,x?sint,y?t3，则dzdt?（）。 A. esint?2t3(cost?6t2) B. z?esint?2t3(cost?3t2)

C. esint?2t3(?cost?6t2)； D. z?esint?2t3(cost?3t2)。 30．设f(xy,x?y)?x2?y2，则 f'x(x,y)?f'y(x,y)? ( ) A. 2?2y B. 2?2y C. 2x?2y D. 2x?2y

31．设z?f(x,y,x),f可微，则

?zy?y?()

A. f2? B. ?xy2f3? C. f2??xy2f3? D. f2??xy2f3? xy?232. 设z?e，则z?x?y＝（）。

A. exy(1?xy) B. exy(1?y) C. exy(1?x) D. exy?xy

233．设f(r)具有二阶连续导函数，而r?x2?y2,u?fr()，则?u?2u?x2??y2=（ A. f??(r) B. f??(r)?1f?(r) C. f??(r)?1f?(r) D. r2rrf??(r) 34. 设f(x,y)?ln(x?2y3x) ，则fy?(1,0)?（） A.

23 B.32 C.1 D.0 35. 设D:x2?y2?1,则

??xdxdy＝（）.

DA.? B.1 C.0 D. 2? 36．设域D：x2

+y2

≤1,f是域D上的连续函数，则

??f(x2?y2)dxdy?( )

D第 4 页共 27 页

）。 A.2??rf(r)dr B. 4??rf(r)dr C. 2??001110f(r)dr D. 4??rf(r)dr

02r37．设积分区域D?{(x,y)|x2?y2?1,x?0,y?0}，则 A. 2? B. ? C. 38．设D是矩形域 0?x???d?＝( )。

D?? D. 24π，?1?y?1，则??xcos(2xy)dxdy的值为( ). 4DA. 0 B. ?111 C. D. 24239、设积分区域D是圆环1?x2?y2?4 ，则二重积分A.C.

??Dx2?y2dxdy?（）

?? 2? 0 2? d?? r2dr B.? 1 4 2? 0 2? d?? r dr

1 4 0 d?? rdr D.? 1 22 0 d?? r dr

1 240．设I1???(x?y)D2其中D?{(x,y)|(x?2)2?(y?1)2?1}，d?,I2???(x?y)3d?，

D则（）

A.I1?I2 B.I1?I2 C. I1?I2 D. 无法比较

2241．设D:x?y?1,则?ye??xdxdy＝（）. D2A. ?(1?e) B. ?(1?) C. 0 D. ?(1?) 42．设D由x?0,y?1,y?x围成，则

A.D.

1e1e??f(x,y)dxdy?（）

D? 1 0 1 0 ydy?f(x,y)dx 0 1 B.

? 1?x 1 0dx?f(x,y)dy 0 x C.

? 1 0dy?f(x,y)dx

y 1?dy?f(x,y)dx

043．交换二次积分顺序后， A. C.

? 1 0 dx? 0 f(x,y)dy=（）。

1 1 ?x 0 0 1?y? 1 0 dy? f(x,y)dx B. ? dy? 0 1 f(x,y)dx f(x,y)dx

dxdydz化为三次积22????x?y?1? 1- x 0 dy? f(x,y)dx D. ? dy? 0 0 1 1 02244. 设?是平面z?1与旋转抛物面x?y?z所围区域，则

分等于（） A.

? 2? 0d?? 1 2? 1 1rrdrdzd?dr B.? r2? 0? r21?r2? 0dz 01?r2 1第 5 页共 27 页

? 1 1 1rrdr?2dz D.?d??2dr?dz C.?d?? 0 01?r2 r ?? r1?r2 045．设f(x,y)连续，且 f(x,y)?xy???f(u,v)dudv，其中D是由y?0,y?x2,x?1 ? 1D所围区域，则f(x,y)＝ ( ) A. xy B. 2xy C. xy?1 D. xy?1 846．设f(x,y)在D:x2?y2?1,y?0连续，则A.

??f(x,y)d??（）

D 1-x2 0 1?x21?x2? 2? 0d??f(rcos?,rsin?)rdr B. ?dx? 0 1 1 0 1f(x,y)dy

f(x,y)dy

? ? 0d??f(rcos?,rsin?)rdr D. ? ?1dx? ? 0 147.若区域D为(x,y)|x?1，y?1,则

－1

????xeDDcos(xy)。 sin(xy)dxdy＝（）

A. e B. e C. 0 D. π 48. 设D由x?0,y?1,y?x围成，则 A.

??f(x,y)dxdy?( ).

1 x 0 0 1 y? 1 0dy?f(x,y)dx B. ?dx?f(x,y)dy

0 1? 1 0dy?f(x,y)dx D. ?dy?f(x,y)dx

y 0 0 149．设f(x,y)为连续函数，则积分

?dx?01x20f(x,y)dy??dx?11x222?x0f(x,y)dy

22?x可交换积分次序为( ) A．C.

?101dy?f(x,y)dx??dy?01y22?y0f(x,y)dx B. ?dy?f(x,y)dx??dy?00112?x0x0f(x,y)dx

?0dy?2?yyf(x,y)dx D. ?dy?2f(x,y)dx

50. 交换二次积分顺序后，A.C.

? 1 0 dx? 1?x 0 f(x,y)dy=（）

1 1 ?x 0 0? 1 0 dy? f(x,y)dx B.? dy? 0 1 1 0 0 1 f(x,y)dx f(x,y)dx

? 1- x 0 dy? f(x,y)dx D.? dy? 1?y 051．在公式

?f(?,?)????f(x,y)d??lim?D?0iii?1?(xe??D2ni中?是指（）

A.最大小区间长度 B.小区域最大面积 C.小区域直径 D.小区域最大直径

2252. 设D:x?y?1,则?y2)dxdy＝（）.

A. ?(1?e) B. ?(1?) C. ?(e?1) D. ?(1?)

1e1e第 6 页共 27 页

x2y2253．设L表示椭圆2?2?1，方向逆时针，则?(x?y)dx?（）

LabA.πab B.-πab C.a?b D. 0 54. 设L是y=4x从(0,0)到(1,2)的一段，则

22?yds?（）

LA.

?0x1?4xdx B. ?22011y2x2y1?dy C. ?x1?dx D. ?1?4y2dy

004455. 设L是从点A（1，0）到点B（-1，2）的弧段，则曲线积分 A.2 B.22 C.2 D.0

222256．设?为球面x?y?z?a（a?0），则

? L(x?y)ds=（）

1dS的值为（）。 ??222x?y?z?4πa D. 4π 322257. 设S是球面x2?y2?z2?R2，则曲面积分??(x?y?z)dS? （）

A. 2π B. 3π C.

SA. ?R B. 2?R C. 4?R D. 6?R 58. 设L是从点(0,0)到点(2,1)的直线段，则

4444? L2yds? ( )。

A. 5 B.

510 C. 10 D. 2259．用格林公式求由曲线C所围成区域D的面积A，则A=( )

A. C.

?Cxdy?ydx

B. D.

?Cydx?xdy

1xdy?ydx 2?CL1ydx?xdy 2?C60.已知曲线积分

?F(x,y)(ydx?xdy)与积分路径无关，则F(x,y)必满足条件（）

A. xFy?yFx B. xFy?yFx?0 C. xFx?yFy D. xFx?yFy 61. 设L为连接（1，0）及（0，1）两点的直线段，则

?(x?y)ds?( ).

LA. 2 B. 1 C. 2 D. 3 62. 设L为从点A（1，1）到点B（1，0）的直线，则下列等式正确的是（） A.

11 xdx?1 xdy?1 yds?? ydy?? B. C. D. ??? L? L L L22第 7 页共 27 页

63.若曲线积分

A. ?? L(x2?3y)dx?(ax?sin2y)dy与路径无关，则常数a?（）。

11 B. ?3 C. D. 3

33x2y2264．设L表示椭圆2?2?1，方向逆时针，则?(x?y)dx?（）

Lab A.?ab B. ??ab C. a?b D. 0 65．设L是从点A(1,0)到点B(-1,2)的有向弧段，则曲线积分

22?(x?y)ds?( )。

LA.2 B. 22 C. 2 D. 0 66．曲线弧A. C.

上的曲线积分和

上的曲线积分有关系 ( )

??ABf(x,y)ds???f(x,y)ds B. ?BABAABf(x,y)ds??f(x,y)ds

BABAABf(x,y)ds??f(?x,?y)ds?0 D. ?f(x,y)ds??f(?x,?y)ds

AB67．设I?( ) A. C.

????zdv，其中??{(x,y,z,)x2?y2?z2?1,z?0}，经球坐标变换后，I?

?2??00d??2d??r3sin?cos?dr B. ?d??d??r2sin?dr

012??1000?2?0d??d??rsin?cos?dr D. ?d??2d??r3sin?cos?dr

3000002

?12??1

68. 设L是y=4x从(0,0)到(1,2)的一段，则

2 22? Lyds?（）

? 0x1?4x2dx B.? 1 0 1x2?y?y1???dy C. ?x1?dx

04?2? D.

? 01?4y2dy

22?yx?P?Qy?x69．设I???cx2?y2dx?x2?y2dy,，因为?y??x?(x2?y2)2，所以（）

A. 对任意闭曲线C，I?0;

B. 在曲线C不围住原点时，I?0； ?PC. 因与?Q在原点不存在，故对任意的闭曲线C，I?0；

?x?yD. 在闭曲线C围住原点时I=0，不围住原点时 I?0。 70. 级数

??(?1)nn?11。 (p?0)的敛散情况是（）pn第 8 页共 27 页

A. p?1时绝对收敛，p?1时条件收敛 B. p?1时绝对收敛，p?1时条件收敛 C. p?1时发散，p?1时收敛 D. 对任何p?0，级数绝对收敛

71．当|x|?1时，幂级数

?(?1)n?0?n。 x3n?1的和函数为（）

xxxx?? B. C. D.

1?x31?x31?x31?x372．级数

?(?1)nn?1?1n?12 （）

A. 绝对收敛 B. 条件收敛 C. 发散 D. 敛散性不确定 73. 若级数

?un?1?n 收敛，则级数

?(?1)n?1?nun（）

A.收敛但不绝对收敛 B. 绝对收敛 C. 发散 D. 敛散性不确定 74．下列幂级数中收敛区间为??1,1?的是（）

???1n1n(?1)nnA.?2x B. ?x C. ?x D. ?xn

nn?1nn?1nn?1n?1?75. 下列级数中条件收敛的是（）

???nnn1n1A. ???1?； B. ???1?n； C. ???1?2； D. ???1?

n?1nnn?1n?1n?1n?1n???76．已知级数

2收敛，则对于级数 aa?n?n，下列说法正确的是（） n?1n?1 A. 必定收敛 B. 必定发散 C. 条件收敛 D. 可能收敛，也可能发散 77. 若无穷级数

?nn?1?1 a?1收敛，则a满足（）。

A. a?0 B. a?0 C. a?1 D. a?1

78．下列级数中发散的是（）

3n?2nA.?2 B. ?5nn?12n?1n?1?1??11n C. ? D.(?) ?22nn?1100n?11?n?1?(?1)nn79. 设级数?(?1)(),则该级数( ).

nn?1?nA. 发散 B. 条件收敛 C. 绝对收敛 D. 不确定

80．下列说法正确的是（）

第 9 页共 27 页

A. 若

?un?1??n发散，则必有limun?0 B. 若limun?0，则

n??n???un?1?n必收敛

C. 若

?un?1?n收敛，则必有limun?0 D.

n???un?1?n的敛散性与limun?0无关

n??81. 下列级数中收敛级数是（）

???1n15?2nA.? B. C. D. (1?) ???22nn3n?12n?1n?11?nn?1n?182. 下列级数条件收敛的是（）

???n1nn1n1A. ?(?1) B. ?(?1) C. ?(?1) D. ?(?1) 21?nn(1?n)nnn?1n?1n?1n?1n??2n?n !3n?n !83．设级数?（1）与级数?（2），则（） nnnnn?1n?1? A. 级数（1）（2）都收敛 B. 级数（1）（2）都发散

C. 级数（1）发散，级数（2）收敛 D. 级数（1）收敛，级数（2）发散

?xnn(?1)84. 幂级数?2n?3的收敛区间为（） n?01? C. ?1 , 1? D. ??1 , 1 ? A.(?1 , 1 ) B. ??1 , ?85．设k是非零常数，则

?n?0?(?1)nk1?n2（）

A.发散 B.条件收敛 C.绝对收敛 D.敛散性与k有关

二、填空题

1．函数z?ye2x在点（0,1）处沿向量{?1212,1212}方向的方向导数为。

2. 函数z?ye在点（0,1）处沿向量{?2x,}方向的方向导数为 .

3．函数f(x,y)?x?xy?y在点（1,1）处方向导数的最大值为 . 22??u4．函数u?x?y?z?3xy在点M(1,1,1)处沿l?{1,2,2}的方向导数

?l22422M? 。

5．函数z?x?y在点（1,2）处沿从点A（1,2）到点B（2,2＋3）的方向的方向导数等于。

第 10 页共 27 页

6．曲线x?e2t,y?2t,z??e?3t在对应于t?0点处的切线方程为。 7．曲面z?4?x2?y2在点处的切平面平行于平面2x+2y+z=0. 8. 曲面z?ex?2xy?3在点(1,2,0)处的切平面方程为。 9．函数u?2xy?z2在点(2,?1,1)处沿方向角为??为。

10. 设z?xy ,则全微分 dz? . 11．设z?ln(xy2)，则dz? 。 12. z?(sinx)y,则全微分dz= . z13．设 z?e?xy，则全微分dz? 。

?3,???4,???3的方向导数

14．设f(x,y)?(sin2x)cos2y，则df(x,y)? 。

dz? . dt?z3? ； 16．已知方程z?2xz?3y?0确定隐函数z?z(x,y)，则?x15．设z?ex?2y3，而x?sint，y?t，则

17．设z，则?sin(3xy??)y?z?xx?2y?1? 。

y?2u18．设u?xy?，则= 。

x?x?y19．设z?yx2?y2，则

?z? 。 ?y?z? 。 ?y20．设方程 x?2y?3z?2xyz 确定z?f(x,y)，则 21.设 z?e?xy，则

z?z= . ?y22. limsinxy? .

x?0xy?2xy2?xy?4=

23．极限limx?0y?0第 11 页共 27 页

24．若函数f(x,y)?x2?2xy?3y2?ax?by?6在点(1,?1)处取得极值，则常数

a?______,b?_______。

25. 若函数z?2x2?2y2?3xy?ax?by?c 在点(-2,3)处取得极小值－3，则常数a,b,c之积abc= . 26. 梯度grad(1)＝ . 22x?y27．设f(x,y)???(1,2)= . x2?y2，则fxy?28．设f(x,y)?ln(x?y2)，则fxy(1,2)? 。 29.设z?x f( x?ye) , f(u) 可微，则30．设z?yln(xy2)，则

x?z ? . ?x?z?y(1,2)? 。

?2u31．设函数u?x,则? 。

?x?yyz32.z?f(x,y,),f可微，则

2xxy?z? 。 ?y34．设f(x,y)?e?2y，则f'x(1,0)? 。 3x35、已知方程

?zxx?ln确定隐函数z?z(x,y)，则? 。

?xyz2336．函数z?x?y?2xy?y?2的驻点是。 37．交换二次积分

?10dx?2f(x,y)dy的次序得 .

xx38．交换积分顺序后，39．改变二次积分40．变换

?dx? 0 1 1 xf(x,y)dy? 。

? 4 2dy?f(x,y)dx的积分次序为。

y 4? 1 0 dx? 1?x2 ?1?x2 f(x, y) dy的积分次序后为 .

41．交换二次积分的次序42. 交换二次积分

?2 0 ?dx? 1 cosxf(x,y)dy? ；

2 2?x 1 0?dx? 0 1 x 0f(x,y)dy??dx?f(x,y)dy的次序得 . 第 12 页共 27 页

43. 设D为矩形0?x?1 , ?1?y?1 ，则二重积分 3 dxdy? . D??44．设D为?(x,y)|0?x?1，0?y?2x?,则

??(1?x)dxdy= 。

D45．?为三个坐标面及平面x?2y?z?1所围成闭区域，则46．设D：x2?y2?2x,则

???2dxdydz? ???ydxdy?= . D47．设?为球体x2?y2?z2?1的第一卦限部分，则为 .

???f(x,y,z)dv化成三次积分

?48．设?为立体0?x?1 , ?1?y?1 ，0?z?2，则三重积分

???(1?x)dxdydz? . ?49．设平面薄片占有平面区域D，其上点(x,y)处的面密度为?(x,y)，如果?(x,y)在D上连续，则薄片的质量M = 。 50．设

f(x,y)为连续函数，则交换积分次序后二次积分

?dy? 0 1 1 y f(x,y)dx? 。

x2?y2?1/2，要使f(x,y)处处连续，则22x?y?1/2?ln(1?x2?y2)51.f(x,y)???AA= 。

52. 设L为从点A（0，0）到点B（2，1）的直线，则

? Lyds= . 53．设L是xOy 平面上点A(0,0)到点B(1,2)的直线，方向是从A到B,则

? L(1?y)dy= 。

54．设L为从点A(0,0)到点B(2,1)的直线，则55．设L为y??Lyds= 。

x上从点(1,1)到（0，0）的曲线弧，则?L(x?1)dy? 。

56. 设L为从点A（1，1）到点B（1，0）的直线，则57. 设L为圆周 x?y?4，方向为顺时针，则

22? L yds?___________________。

? ydx?2xdy? 。

L58．设L为三顶点分别为（0，0），（3，0），（3，2）的三角形边界正向，则

??(2x?y?4)dx?(5y?L3x?6)dy_________________. ＝

60．设曲面方程z?f(x,y)，其在xoy平面上的投影为D，则求该曲面的面积公式为；

第 13 页共 27 页

222261．设?为立体0?z?x?y,?1?x?y?1?x,?1?x?1，则

???dxdydz? .

?62.设P(x,y)、Q(x,y)在xoy平面上具有一阶连续偏导数，则曲线积分

L P(x,y)dx+Q(x,y)dy与路径无关和

及是相互等价的。

63.由旋转抛物面z?1?x2?y2与z?0所围封闭立体的体积为 .

64．设曲线段的参数方程为x=φ(t), y=ψ(t),其中α≤t≤β。如果曲线段上的点(x,y)处线密度函数为ρ(x,y)，则曲线段的质量的计算公式为 . 65．设L是点(0,?)到点(?,0)的直线段，则

? Lsinydx?sinxdy?_________。

66．设L是从A(1,?1)沿y2?x到B(1,1)的弧段，则

? Lx2ydx? ；

67.设?为立体0?x?1 , ?1?y?1 ，0?z?2，则三重积分68. 变换

???(1?x)dxdydz? ?? 1 0 dx? 1?x2 ?1?x2 f(x, y) dy的积分次序后为 . . 69.设?是平面z?1与旋转抛物面x2?y2?z所围区域，为 .

70．设积分区域?:x?y?4, 1?z?5，则

积分为；

71．设f(x,y)是连续函数，则二次积分为。

22???f(x,y,z)dv化成三次积分

????? 1 0f(x2?y2)dv在柱面坐标系下的三次

?dy? y yf(x,y)dx交换积分次序后

72．已知有界闭区域D的边界是光滑曲线L，L的方向为D的正向，则用第二型曲线积分

写出区域D的面积公式。 73．格林公式

?LP(x,y)dx?Q(x,y)dy???(D?Q?P?)dxdy 成立的条件是 ?x?y 。 74．幂级数

n2nx的收敛半径为。 ?n3n?0?75. 设幂级数

?an?0?nx的收敛半径是4，则幂级数?anx2n?1的收敛半径是 . nn?0?第 14 页共 27 页

76．级数

?nxn?1?n?1的和函数S(x)? 。

77．幂级数

?(?1)nn?0??1xn的收敛区间为。 n(n?2)?2n78．如果幂级数一定收敛。 79. f(x)???的收敛半径是1，则级数在最大的一个开区间内an?x?1?n?01展开成(x?1)的幂级数为。 3?x80.级数

1是收敛的，其和为 . ?n(n?1)n?13 的和为。 ?nn?12?81．级数

82．幂级数

?nxn?1?n?1的和函数S(x)? . 83．将函数f(x)??1 展开成关于x的幂级数为_________________________。 4?x84. 幂级数

1?xn的收敛半径为 . ?nn?1n?3?(x?1)n85．幂级数?的收敛区间为。 nn?3n?186.级数

2 的和为。 ?n3n?1?n?xn87. 幂级数 ???1?的收敛域为。

nn?188．级数

?(?1)nn?1?1是（发散，条件收敛，绝对收敛）的。

2n?100

三、解答题

1．求曲线x?t?sint,y?1?cost,z?4sin程。

2.求椭球面x?2y?z?1 上平行于平面 x?y?2z?0的切平面方程。

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222?t在对应于t?点处的切线方程及法平面方

223.求曲面x2?4y2?2z2?6上点(2,2,3)处的切平面方程与法线方程。 4．求曲线x=2t+7t,y=4t-2,z=5t+4t在点(-5,-6,1)处的切线及法平面方程。 5.求曲线x在点(处的切线及法平面方程。 ?2t??7t,y4t?2,zt?5?4t??56,,)16.在椭圆抛物面z?x?22

2212y?1上求一点，使该点的切平面与平面2x?y?z?0平行， 4?u?l

。

并求该点的切平面及法线方程。

7.求函数u?x2?y2?3xy在点M(1,?2)处沿其梯度方向l的方向导数

?8.求z?ln(x?y)在点M(3,4)处沿向量l??1,0?的方向导数.

229.设z?xf(yex),f(u)可微，求

?z?z,。 ?x?y?z?z,。 ?x?y10．设z?z(x,y)是由方程F(y?x,yz)?0所确定的隐函数，其中F可微，求

?2z?2z11.设z?ln(x?x?y)，求2，。

?x?x?y2212．设z?(y?3x)sinx，求

?z?z,。 ?x?yx?y?2z13. 设z?arctg ，求

1?xy?x?y? 2z14．设方程 z?3xyz?a 确定z?f(x,y)，求

?x?y33?2z15．设方程x?z?2ye确定z?f(x,y)，试求。

?x?y22216.设方程x3?y3?z3?xyz?6?0 确定z?f(x,y)，求

?z?z,。 ?x?y?2z?2z17.设z?f(x?y)，其中f具有二阶导数，求2,。

?x?x?y32?2z18.设z?(lnx)，求。

?x?yy第 16 页共 27 页

?2z19. 设z? ，求。

22?x?yx?y1?z?2z20．设z?f(u,x,y),u?xe，其中f具有连续的二阶偏导数，求。 ,?x?x?yy? 2z21. 设方程 z?3xyz 确定z?f(x,y)，求

?x?y3y?z?2z22. 设z?f(xy,), 求。 ,x?x?x?y2?z?z?2z23. 已知方程x?y?z?e确定二元隐函数z?z(x,y)，试求。 ,,?x?y?x?y2z24、设z?sinx?F(siny?sinx)，其中F(u)可导，试求

?z?zcosy?sinx。 ?x?y25.设z?xy?xF(u)而u?y?z?z?y。，F(u)为可导函数，试求xx?x?y?2z26.求由方程xy?yz?zx?1所确定的函数z(x,y)的偏导数。

?x?y?2z27. 设z?f(xy,xy),f(u,v)具有二阶连续偏导，求

?x?y22?z?2z,28. 设z?f(x?y, 2xy)，其中f(u,v)具有二阶连续偏导数，求。 ?x?x22229、设z?f(x,y)由方程?(cx?az,cy?bz,cz)?0确定，求

?z?z,。 ?x?y30. 设方程cosx?cosy?cosz?1 确定的隐函数z=z(x,y)，求dz。 31. 设u?xy?yz?zx,计算梯度grad(u)|(1,1,1). 32.求函数z?e(x?y?2y)的极值。 33.求三元函数u?x的全微分du。 34.设u?xze ，求全微分du。

35.设z?f(x , y )由方程 F(x?az , y?bz ) ?0确定，F(u,v)可微，a 和b是已知常数，

第 17 页共 27 页

zy2222322x2yz求a?z?z?b 。 ?x?yaa?(a?0)的极值。 xy36.求函数f(x,y)?xy?37. 求函数f(x,y)?x2?xy?y2?2x?y的极值。

38．在xoy平面上求一点，使得它到x=0，y=0和x+2y-16＝0三直线的距离平方之和为最小。 39. 求函数f(x,y)?(6x?x2)(4y?y2)的极值。 40. 求函数f(x,y)?x2?xy?y2?2x?y的极值。

41. 现用铁板做成一个表面积为36的无盖长方体水箱，问长、宽、高各为多少时，体积最大？

42.在椭圆x2?4y2?4上求一点，使其到直线2x?3y?6?0的距离为最短。

43．求I?? 1 0dx?e?ydy

x 1244．计算二重积分

22D，是由x?y?2x和y?x围成的面积小的那部分区域。 yd???D45．计算二重积分

1x2y?,y?x,y?2围成。，其中D由 ()dxdy??xyD46.计算二重积分

2D:y?x?16?y，其中。 xydxdy??D47.利用二重积分计算由平面所围立体的体积

xyz???1 (其中a,b,c?0) 及坐标面x?0,y?0,z?0abc ??xcos(x?y)dxdy。

D48.设D是以O（0，0）、A（1，0）、B（1，1）为顶点的三角形区域，求 49.求

sinxdxdy，D由y?2x,x?2y与x?2围成的第一象限中的区域。 ??xD22?，其中是由曲面与平面z?4所围成的闭区域。 z?x?yzdxdydz???50.计算三重积分51. 求

????(x?2?y2?z2)dv，?为上半个球面x2?y2?z2?a2和圆锥面

z?x2?y2所围区域。

222?zdvx?y?z?4 , z?0 ，积分区域为上半个球体：???52. 求

?第 18 页共 27 页

53．求二重积分54. 计算I?向。

55. 求二重积分

22 (x?y?x)d?，其中D是由直线y＝2,y=x及y=2x所围成的闭区域。??D?L(2xy?x2)dx?(x?y2)dy,其中L是y=x2和y2=x所围区域的边界曲线的正

??(x?y)dxdy，D由 x?y?1 围成。

d56.利用极坐标计算二次积分

?2?2dx?4?x20x2?y2dy

。

57. 求曲面z?2?x2?y2与曲面z?x2?y2所围立体的体积。 58.求

y2D，为由与x轴围成的区域。 arctand?y?1?x??xD2(x???y)d?，其中D为以点A(0,0),B(1,1),C(0,1)为顶点的三角形区域. D59．求

60．求

22，D:x?y?x。 (1?y)d???D61. 设?为立方体：0?x?a，0?y?a，0?z?a（a?0），求三重积分

???(x?y)dxdydz．

?65. 求使

??D。 a2?x2?y2dxdy?1 的 a 值，其中D：x2?y2?a2（a?0）

22263.设有圆形簿片D：x?y?a，其面密度为f(x,y)?e64.利用柱坐标计算三重积分成的区域。 65．设?是由z??(x2?y2)，求簿片的质量。

22?，其中是由曲面与平面z?4所围z?x?yzdxdydz????x2?y2及z?1所围的有界闭区域，计算???(x2?y2?z)dv。

?66. 用格林公式计算

? (x?yL2)dx?3xydy ，其中L为圆周x2?y2?2x上从点0（0，0）

顺时针到点A（2，0）这段曲线。 67．用格林公式计算

?L (x2?2y)dx?3xdy ，其中L为圆周x2?y2?2x上从点0（0，0）

顺时针到点A（2，0）这段曲线。

68．计算(ex?y)dx?xdy，其中L是从A(1.0)沿半圆周y?1?x2逆时针到B(－1，0)

?L69. 计算曲线积分，L是正向圆周

x2?y2??2

2270. 验证(2xcosy?ysinx)dx?(2ycosx?xsiny)dy是某个函数的全微分，并求出它

第 19 页共 27 页

的一个原函数。 71.求曲线积分

?L(x2?y)dx?(x?sin2y)dy ，其中L是在圆周x2?y2?2x上由点(0，

0)顺时针到点(1，1)的弧段。 72．计算I?xdy?ydx22，其中L是沿曲线(x?2)?y?1 逆时针方向一周。 ? Lx2?y273．求曲线积分ydx?sinxdy，其中L:y?sinx(0?x??)与x轴所围曲线,取正向。

L?74.试计算

1ttt??x2?y2?z2ds，其中?为曲线x?ecost,y?esint,z?e上相应于t从

0变到2?的这段弧。

75.求由曲面z=x+y与z=4所围立体的体积。 76.计算弧.

77.求曲面积分78．计算79．求

?Lxdx?ye2x?x2dy其中L是在圆周y=2x-x2由点(0,0)顺时针到点(1,1)的一段

2??xyzdxdy，其中?为球面x??y2?z2?a2在第一卦限部分的外侧.

到B(－1，0)。

?y)dx?xdy，其中L是从A(1，0)沿半圆周?(exL?Lyzds ，其中L的方程为x?2t,y?3sint,z?3cost,0?t??2。

81计算曲线积分界线。

?(2x?yL2)dx?(2x?1)dy，L是由y?x2和y2?x所围区域的正向边

83.将函数ln(1?x?2x)展开成x的幂级数。 84．试把f(x)?21展开成x的幂级数。

(1?x)285、把f(x)?x展开成(x?5)的幂级数。

x2?5x?6?n286．判断级数?n的敛散性

n?132?n!87．判断级数?2n的敛散性

n?13(?1)n2n88．求幂级数 ?x 的收敛区间及和函数。 n5n?1??n第 20 页共 27 页

89.判别级数四、综合题

?(?1)n?1?n1ln(1?)是否收敛，如果收敛，是绝对收敛，还是条件收敛？

nx21．证明极限lim2不存在。

x?0x?y2y?0?2z?2z2.设z?f(x?y, 2xy) ，其中f(u,v)具有二阶连续偏导数，求2，。

?x?x?y22x?2z3.设z?f(,xy)，其中f(u,v)具有二阶连续的偏导数，求。

y?x?y4.设z?xf(x2-y2,xy),f 可微，求

2?z?z,。 ?x?y5. 设du?(x?y)dx?(1?2xy)dy，求函数u(x,y)。 6. 设函数z(x,y)由方程F(x?zz?z?z,y?)?0确定，证明：x?y?z?xy yx?x?y7．设du?(2xcosy?y2cosx)dx?(2ysinx?x2siny)dy,.试求二元函数u(x,y) 8、u?sinx?F(siny?sinx),F(t)可微，证明：

?u?ucosy?cosx?(cosx)(cosy) ?x?y9．平面薄片由y?2x,x?1,y?0围成，其上各点的面密度等于该点到x轴的距离，试求薄片的质量。

10．现用铁板做成一个表面积为36的无盖长方体水箱，问长、宽、高各为多少时，体积最大？并求最大体积。

11. 要造一个容积为k的长方体无盖水池，应如何选择水池的尺寸，方可使它的表面积最小。

?12.求z?ln(x?y)在点M(3,4)处沿下列方向的方向导数：（1）沿向量l??1,0?；（2）

22沿梯度方向的方向导数. 13．计算

?2xydx?xL2dy，其中L为有向折线OAB，这里O，A，B依次是点（0,0），（1，0），

（1,1）。 14.证明：

200?I?102dxdy?2。 22??x?y?10100?cosx?cosy第 21 页共 27 页

15.设f(x)在[0,1]上连续，求证：

?10dy?eyf(x)dx??(e?ex)f(x)dx

00y1216. 设f(x)在?0,a?上连续，D?(x,y)x?y?a,0?x?a，试证明：

????D21?a?f(x)f(y)dxdy???f(x)dx?。

?2?017．函数z?z(x,y)由方程F( x?zz, y? )=0 确定，且F具有连续的偏导数，证明： yxx?z?z?y?z?xy。 ?x?y18．试求指数?，使曲线积分内与路径无关。

? (x,y) (x0,y0)x?x2?rdx?2rdy (r?x2?y2)在y?0的区域yy1xdy?ydx。 ? L219. 设xoy平面上正向曲线L围成的区域为D，证明：|D|?2?y20．用格林公式等两种不同的方法计算??edxdy，其中D是以O(0,0),A(1,1),B(0,1)为

D顶点的三角形闭区域。

21．用先对x和先对y两种方法求

22??cos(x?y)dxdy，其中D由x=0,y=?和y=x围成。

D22.设积分区域?由z?x?y , z?4围成，求23.求24.求

???xz dv

???? (x?2?y2)dv ，其中?由曲面z?x2?y2和平面z?h （h?0）围成。

222?，其中为球面x?y?z?1及三个坐标面围成的第一卦限内的部分。 ydv????25.设立体?由圆锥z?x2?y2和平面z?4围成，（1）用重积分求?的体积V；（2）

求?的边界面的面积S。

26．试用格林公式和曲线积分二种方法计算

?(2x?y?4)dx?(5y?3x?6)dy，其中LL为三顶点分别为A(0,0),B(3,0)和C(3,2)的三角形区域的正向边界线。 27.计算

?Lxydx?(y?x)dy，其中L的起点为A(1,1)，终点为B(2,3)，路径分别为

????????（1）直线y?2x?1；（2）折线AC?CB，C点为C(2,1)

28．设曲线积分为

? L2ydx?x2dy，根据下列路径计算该曲线积分：

（1）L为y?x上从点O(0,0)到点A(4,2)的曲线

第 22 页共 27 页

（2）L为从点O(0,0)到点A(1,2)再到点B(1,0)，最后回到点O(0,0)的折线. 29. 用曲线积分和格林公式两种方法计算

?L (x?y2)dx?3xydy ，其中L为圆周

x2?y2?2x上从点0（0，0）逆时针到点A（2，0）这段曲线。

30．设曲线L是从点A（0，1）到点B（1，0）的直线，试求下列曲线积分：

（1）

?( x?y )ds （2）?( x?y )dx

LL231. 已知du(x,y)?2xydx?x（1）求满足该等式的函数u(x,y)；（2）设曲线L为dy，

，求?du(x,y) y?x上从点（1，1）到点（0，0）

L32.证明曲线积分计算积分值。

33. 设L是从点（1，0，1）到点（0，3，6）的直线段，试求三元函数的第一类曲线积分

?(3,4)(1,2)(6xy2?y3)dx?(6x2y?3xy2)dy在整个xoy平面内与路径无关，并

? L xy2zds

34．设平面薄片所占的闭区域D由抛物线y?x2和直线y?x所围成，它在点(x,y)处的面密度?(x,y)?x2y，试求（1）该薄片的质量；（2）该薄片的的质心。 35. 用格林公式等两种方法计算

? (x?yL2)dx?3xydy ，其中L为圆周x2?y2?2x上

从点0（0，0）顺时针到点A（2，0）这段曲线。 36．计算二重积分

??yd?：

D22 （1）D是由x?y?2x和y?x围成的面积小的那部分区域。

x （2）D是由y?e,y?x,x?0,x?1围成的区域。

2237. 设积分区域?：x?y?4 , 1?z?5，试从直角、柱面二个坐标系，把

???f(x,y,z)dv化成二种形式的三次积分。

?38.设

?a收敛，试证明：?2nn?1?an绝对收敛. nn?1?39.将函数f(x)?1 展开成 x 的幂级数，并求出收敛区间。

x2?x?640.将函数f(x)?arctanx展开成x的幂级数。

第 23 页共 27 页

?41．证明级数

?10(n?1)(n?2)是收敛的，并求出其和。

n??42、求幂级数?xnnn的收敛域

n?13??43.试讨论级数

?1(a?0)的敛散性。 n?11?an??．判别下列级数的敛散性：（1）?5n44n?2nnn；（2）n?17?6?() n?1n45. 求幂级数

??nxn的和函数s(x)和收敛区间。

n?1??46.证明正项级数

n?(3nn?14)是收敛的. ?47．证明：

?1n?1n(n?1)(n?2)?14 48. 求微分方程y???3y??2y?5满足初始条件y|x?0?1,y?|x?0?2的特解。 49.求微分方程(x?2y)dx?xdy?0的通解。 50. 求方程y?ex??x0y(t)dt的解。

补充

一、选择题

1、空间坐标系中O(0,0,0),A(2,1,0),B(2,1,1)，则向量AB与OB的夹角为（（A）

?2 （B） ?3 （C）

arccos66 2、设向量a??3,2,?1?，b???4??2,3,k??.已知a?b，则k?（）.

(A)

23 (B) 263 (C) 72 (D) 1

第 24 页共 27 页

）

3、在空间直角坐标系中，点（1，-3，4）关于原点的对称点是（）

(A) （-1，3，4） (B) （-1，3，-4） (C) （1，-3，-4） (D) （1，-3，4） 3、设x轴在平面Ax?By?Cz?D?0上，则必有( )

（A）A?D?0 （B）B?0,C?0 （C）B?0,C?0 （D）B?D?0 5. 平面3（） x?5z?1?0（A）平行于z平面（B）平行于y轴（C）垂直于y轴（D）垂直于x轴 ox6 向量a?{2,?3,6}，则与a同向的单位向量为（）

（A） {2,?3,6} （B）?7．直线

??111{2,?3,6} （C） ?{2,?3,6} （D） {2,?3,6} 777x?2y?1z??与平面2x?4y?3z?2的位置关系是（） 1?22 (A)平行 (B)重合 (C)垂直 (D)斜交

8、向量 a?{4,?3,4},b?{2,2,1}, 则向量 a和 b 的夹角为（）

(A)

????arcsin?22 (B) 0 (C) arccos (D)

44141????????9、向量a?2i?3j?k与??4i?2j?2k的夹角为（）

(A)

? 2 (B) 0

? 4?x?3z?5?010、直线?化成点向式方程为（）

y?2z?8?0?x?5y?1z?1x?5y?8z???? (B) 321321x?5y?2z?1x?5y?3z?2???? (C) (D) 32132111、平面方程 3x?5z?1?0中，下列结论正确的是（）

(A)

(A) 平行于zox 平面 (B) 平行于y 轴 (C) 垂直于y 轴 (D) 垂直于x 轴 12、下列平面中，与平面x?2y?z?1?0垂直的平面是( ) (A)x?2y?z?5?0 (B) 2x?y?3z?5?0 (C) x?y?3z?10?0 (D) 3x?5y?z?6?0 13、平面2z?3y?0是（）

（A）与x轴平行但无公共点的平面（B）与yOz平面平行的平面

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（C）通过x轴的平面（D）与x轴垂直的平面 14、直线

x?1yz?1??与平面3x-y+z=0的位置关系是（） 221(A) 垂直 (B) 平行 (C) 重合 (D) 斜交

二、填空题

?y2??x2?11、曲线 ?4 绕x轴旋转一周，所得的旋转曲面的方程为 .

?z?0?2、在y轴上与点A?1,-3,7?和B?5,7,-5?等距离的点是．

3、在空间直角坐标系中，点（1，-2，3）关于原点对称的点的坐标是为． 4、平面x-y+2z-6=0和2x+y+z-5=0的夹角θ= ．

????????ππ5、设点A位于第I卦限，向径OA与x轴，y轴的夹角依次为和，且OA?6，则点A

34的坐标为．

?1,?2,2，b?1,,1?4，则夹角(a,b)=_______. 6、设a?????????a7、设a?{0,1,2},b?{?1,1,?3}，则同时垂直于和b的单位向量为 .

?????8、设向量a与b?{2,?1,2}平行，a?b??18，则a＝

x?12y?9z?1??与平面3x?5y?z?2?0的交点为 431??1 , -1, k ?与向量 b??2 , 4, 2 ? 垂直，则k=_____________． 10、设向量a??9、直线

11、过点(2,?1,3)且垂直于直线三、解答题

x?1yz?1??的平面方程为． 12?11、求过点

?2,0,?3?且与直线??x-2y?4z-7=0垂直的平面方程．

?3x?5y-2z?1=0?x?7z?1?02、求过点M0(2,4,0) 且与直线 l1:? 平行的直线方程．

y?3x?2?0???3、一平面过点?1,0,?1?且平行于向量a??2,1,1?和b??1,?1,0?，试求此平面方程．

4、求通过点P（1，2，3）且垂直于两平面2x?y?z?0 ,x?y?2z?1?0的平面方程。

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5、求过点

?3,1,?2?且与直线

x?5y?3z??重合的平面方程． 5216.求过点

M0(1,0,?2)且与平面?:3x?4y?z?6?0平行，又与直线

L1:x?3y?2z??垂直的直线l的方程。 1417.求平行于x轴，且过点M(3,?1,2)及N(0,1,0)的平面方程。

8.求过点M0(1,0,?2)且与平面3x?4y?z?6?0平行，又与直线L:直的直线方程。

x?3y?2z?? 垂1419、求过点(0,?1,3)且与平面?:x?2y?2z?1?0垂直的直线方程，并求出直线与平面的交

点坐标. 10、验证两直线L1:的平面方程。四、综合题 1．求过点

xy?5z?2x?2y?4z?2????与L2:相交，并求出它们所在121311?2,1,3?且与直线

x?1y?1z??垂直相交的直线的方程． 32?12、求过点A(1,1-1),B(-2,-2,2)和C(1,-1,2)三点的平面方程。

x?y?z?0??x?z?1?03、证明：l与l2:?垂直。 :?1y?z?1?0x?y?1?0??

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