概率论与数理统计习题及答案

习题 一

1.写出下列随机试验的样本空间及下列事件包含的样本点. （1） 掷一颗骰子，出现奇数点. （2） 掷二颗骰子，

A=“出现点数之和为奇数，且恰好其中有一个1点.” B=“出现点数之和为偶数，但没有一颗骰子出现1点.” （3）将一枚硬币抛两次， A=“第一次出现正面.” B=“至少有一次出现正面.” C=“两次出现同一面.” 【解】 （）1???1，2，3，4，5，6?，A??13，，5?；(2)???(i,j)|i,j?1,2,,6?,A??(1，2),(1，4),(1，6),(2,1),(4,1),(6,1)?,B??(2，2),(2，4),(2，6),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6)?;(3)???(正,反),(正,正),(反,正),(反,反)?,A??(正,正),(正,反)?,B??(正,正),(正,反),(反,正)?,C??(正,正),(反,反)?,

2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C（1） A发生，B，C都不发生； （2） A与B发生，C （3） A，B，C都发生； （4） A，B，C （5） A，B，C都不发生； （6） A，B，C

（7） A，B，C至多有2个发生； （8） A，B，C至少有2个发生. 【解】（1） ABC （2） ABC （3） ABC

（4） A∪B∪C=ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC=ABC

1

(5) ABC=ABC (6) ABC

(7) ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC=ABC=A∪B∪C (8) AB∪BC∪CA=ABC∪ABC∪ABC∪ABC

5.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A?B)=0.3，求P（AB）. 【解】 P（AB）=1?P（AB）=1?[P(A)?P(A?B)]

=1?[0.7?0.3]=0.6

7.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7, （1） 在什么条件下P（AB （2） 在什么条件下P（AB 【解】（1） 当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6.

（2） 当A∪B=Ω时，P（AB）取到最小值为0.3. 9. （1） 求五个人的生日都在星期日的概率； （2） 求五个人的生日都不在星期日的概率； （3） 求五个人的生日不都在星期日的概率. 【解】（1） 设A1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故 P（A1）=

115

=（）（亦可用独立性求解，下同） 577（2） 设A2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故

6565

P（A2）=5=()

77(3) 设A3={五个人的生日不都在星期日}

P（A3）=1?P(A1)=1?(

15

)7

10. 从一批由45件正品，5件次品组成的产品中任取3件，求其中恰有一件次品的概率. 【解】与次序无关,是组合问题.从50个产品中取3个,有C50种取法.因只有一件次品,所以从45个正品中取2个,共C45种取法;从5个次品中取1个,共C5种取法,由乘法原理,恰有一件次品的取法为CC24532115种,所以所求概率为

21C45C5P?3.

C50

11.一批产品共N件，其中M件正品.从中随机地取出n件（n

2

（1） n件是同时取出的； （2） n （3） n件是有放回逐件取出的.

mn?mn【解】（1） P（A）=CMCN?M/CN

(2) 由于是无放回逐件取出，可用排列法计算.样本点总数有PN种，n次抽取中有m

次为正品的组合数为Cn种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序，从M件正品中取m件的排列数有PM种，从N?M件次品中取n?m件的排列数为PN?M种，故

mn?mCmnPMPN?MP（A）= nPNmn?mmn由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可写成

n?mCmMCN?MP（A）= nCN可以看出，用第二种方法简便得多.

（3） 由于是有放回的抽取，每次都有N种取法，故所有可能的取法总数为Nn种，n

次抽取中有m次为正品的组合数为Cn种，对于固定的一种正、次品的抽取次序，m次取得正品，都有M种取法，共有Mm种取法，n?m次取得次品，每次都有N?M种取法，共有（N?M）n?m种取法，故

mn?mP(A)?Cm/Nn nM(N?M)m此题也可用贝努里概型，共做了n重贝努里试验，每次取得正品的概率为m件正品的概率为

M，则取得N?M??M?P(A)?Cmn???1??NN????mn?m

12. 50只铆钉随机地取来用在10个部件上，每个部件用3只铆钉.其中有3个铆钉强度太

弱.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少？ 【解】设A={发生一个部件强度太弱}

33P(A)?C110C3/C50?1 196013.

7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个，

计算至少有两个是白球的概率. 【解】 设Ai={恰有i个白球}（i=2,3），显然A2与A3互斥.

3

1C2184C3P(A2)?3?,C735C344P(A3)?3?

C73522 35故 P(A214.

A3)?P(A2)?P(A3)?0.8和0.7，在两批种子中各随机取一粒，求：

（1） 两粒都发芽的概率； （2） 至少有一粒发芽的概率； （3） 恰有一粒发芽的概率.

【解】设Ai={第i批种子中的一粒发芽}，（i=1,2）

(1) P(A1A2)?P(A1)P(A2)?0.7?0.8?0.56 (2) P(A1(3) P(A1A215.

A2)?0.7?0.8?0.7?0.8?0.94

A1A2)?0.8?0.3?0.2?0.7?0.38

3次正面才停止.

（1） 问正好在第6次停止的概率；

（2） 问正好在第6次停止的情况下，第5次也是出现正面的概率.

1131C1()()45212131224?2 【解】（1） p1?C5()() (2) p2??222325/325

18.

0.3，下雨的概率为0.5，既下雪又下雨的概率为0.1,求：

（1） 在下雨条件下下雪的概率；（2） 这天下雨或下雪的概率. 【解】 设A={下雨}，B={下雪}.

（1） p(BA)?P(AB)0.1??0.2 P(A)0.5（2） p(A19.

B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.3?0.5?0.1?0.7

3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率（小孩为男

为女是等可能的）.

【解】 设A={其中一个为女孩}，B={至少有一个男孩}，样本点总数为23=8，故

P(BA)?P(AB)6/86??

P(A)7/87或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为7.

P(BA)?20.

6 75%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）.

【解】 设A={此人是男人}，B={此人是色盲}，则由贝叶斯公式

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