mg﹣f＝ma

抛物后减速下降有：f﹣（m﹣m′）g＝（m﹣m′）a′ △v＝a′△t 解得：

答：抛掉的压舱物的质量为101kg．

16．（9分）如图所示，半径R＝0.4m的光滑圆弧轨道BC固定在竖直平面内，轨道的上端点B和圆心O的连 线与水平方向的夹角θ＝30°，下端点C为轨道的最低点且与粗糙水平面相切，一根轻质弹簧的右端固定在 竖直挡板上．质量m＝0.1kg的小物块（可视为质点）从空中的A点以v0＝2m/s的速度被水平拋出，恰好从B点沿轨道切线方向进入轨道，经过C点后沿水平面向右运动至D点时，弹簧被压缩至最短，此时弹簧的弹性势能Epm＝0.8J，已知小物块与水平面间的动摩擦因数μ＝0.5，g取10m/s．求： （1）小物块从A点运动至B点的时间．

（2）小物块经过圆弧轨道上的C点时，对轨道的压力大小． （3）C、D两点间的水平距离L．

2

【解答】解：（1）小物块恰好从B点沿切线方向进入轨道，由几何关系有：根据平抛运动的规律可得：vy＝gt， 解得：t＝0.35s．

（2）小物块由B点运动到C点，由机械能守恒定律有： mgR（1+sin θ）＝mvC﹣mvB 解得：vB＝

＝4m/s；

2

2

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在C点处，由牛顿第二定律有：F﹣mg＝m解得：F＝8 N，

根据牛顿第三定律，小物块经过圆弧轨道上C点时对轨道的压力F′大小为8 N． （3）小物块从B点运动到D点，由能量守恒定律有： Epm＝mvB+mgR（1+sinθ）﹣μmgL 解得：L＝1.2m．

答：（1）小物块从A点运动至B点的时间为0.35s．

（2）小物块经过圆弧轨道上的C点时，对轨道的压力大小为8N． （3）C、D两点间的水平距离为1.2m．

17．（10分）一匀强磁场，磁场方向垂直于xy平面，在xy平面上，磁场分布在以O为中心的一个圆形区域内．一个质量为m，电荷量为q的带电粒子，由原点O开始运动，初速度为v，方向沿x正方向．后来，粒子经过y轴上的P点，此时速度方向与y轴的夹角为30°，P到O的距离为L，如图所示．不计重力的影响．求磁场的磁感应强度B的大小及xy平面上磁场区域的半径R．

2

【解答】解：粒子在磁场中受到洛伦兹力作用，做匀速圆周运动，则有

据此并由题意可得，粒子在磁场中的轨迹的圆心C必在y轴上，且P点在磁场区之外．过P沿速度方向作延长线，它与x轴相交于Q点．作圆弧过O点与x轴相切，并且与PQ相切，切点A即粒子离开磁场区的地点．这样也求得圆弧轨迹的圆心C，

如图所示

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由图中几何关系得：L＝3r 由以上两式可得：

图中OA的长度即圆形磁场区的半径R，由图中几何关系可得 R＝

18．（10分）飞船在远离星球的宇宙深处航行时，其它星体对飞船的万有引力作用很微弱，可忽略不计，此时飞船将不受外力作用而做匀速直线运动。设想有一质量为M的宇宙飞船，正以速度v0在宇宙中飞行。飞船可视为横截面积为S的圆柱体（如图所示）。某时刻飞船监测到前面有一片尘埃云。已知尘埃云分布均匀，密度为ρ．假设尘埃与飞船发生的是弹性碰撞，且不考虑尘埃间的相互作用。为了保证飞船能以速度v0匀速穿过尘埃云，在刚进入尘埃云时，飞船立即开启内置的离子加速器。已知该离子加速器是利用电场加速带电粒子，形成向外发射的高速（远远大于飞船速度）粒子流，从而对飞行器产生推力的。若发射的是一价阳离子，每个阳离子的质量为m，加速电压为U，元电荷为e。在加速过程中飞行器质量的变化可忽略。求单位时间内射出的阳离子数。

【解答】解：设在很短的时间△t内，与飞船碰撞的尘埃的质量为m′，所受飞船的作用力为f′。

飞船与尘埃发生的是弹性碰撞，设飞船的方向为正方向，根据动量守恒定律和能量守恒定律得

Mv0＝Mv1+m′v2。

Mv0＝Mv1+m′v2。

v0，由于M＞＞m′，所以碰撞后尘埃的速度 v2＝2v0

2

2

2

解得：v2＝

对尘埃，根据动量定理： f′△t＝m′v2 其中m′＝ρsv0△t

则飞船所受到的阻力 f′＝2ρsv0

设一个离子在电场中加速后获得的速度为v。 根据动能定理可得 eU＝mv

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2

2

设单位时间内射出的离子数为n，在很短的时间△t内，根据动量定理可得： F△t＝（n△t）mv 则飞船所受动力 F＝nmv 飞船做匀速运动 F＝f′ 解得：n＝

。

答：单位时间内射出的阳离子数为

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