量子力学课后习题详解

第一章 量子理论基础

1.1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长?m与温度T成反比，即

?m T=b（常量）；

并近似计算b的数值，准确到二位有效数字。

解 根据普朗克的黑体辐射公式

8?hv3?vdv??3c1ehvkTdv， （1） ?1以及 ??c?， （2）

???v?|d?d?|， （3）

有

??dv???||d?d?c????v(?)|d??(?) ?v2?c?8?hc??5?1ehc?kT,?1这里的??的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+dλ之间的辐射能量密度。

本题关注的是λ取何值时，??取得极大值，因此，就得要求?? 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作?m。但要注意的是，还需要验证??对λ的二阶导数在?m处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的?m就是要求的，具体如下：

d??8?hc?6?d??

1hce?kT?hc1??5??hc???kT??kT?1?1?e???0 ???1

? ?5?hc??kT11?ehc?hc?kT?0

? 5(1?e如果令x=

??kT)?hc ?kThc ，则上述方程为 ?kT5(1?e?x)?x

这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有

hc?mT?

xk把x以及三个物理常量代入到上式便知

?mT?2.9?10?3m?K

这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。

2

1.2 在0K附近，钠的价电子能量约为3eV，求其德布罗意波长。 解：根据德布罗意波粒二象性的关系，可知

hP?。

?所考虑的粒子是非相对论性的电子（动能Ek??mec2?0.51?106eV），满足

p2， Ek?2me因此利用非相对论性的电子的能量—动量关系式，有

h??p???h2meEhc2mec2E1.24?10?62?0.51?10?36

m?0.71?10?9m?0.71nm在这里，利用了

hc?1.24?10?6eV?m， mec2?0.51?106eV。

最后，对 ??h2meE

作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。

自然单位制： 在粒子物理学中，利用三个普适常数（光速c，约化普朗克常数h,玻耳兹曼常数 k）来减少独立的基本物理量的个数，从而把独立的量纲减少到只有一种（能量量纲，常用单位eV）。例：1nm=5.07/keV，1fm=5.07/GeV，

?51K?8.6?10eV. 电子质量m=0.51MeV. 核子（氢原子）质量M=938MeV，温度

3

1.3 氦原子的动能是E?罗意波长。

3，求T=1K时，氦原子的德布kT（k为玻耳兹曼常数）

2解：根据 1k?K?8.6?10?5eV， 知本题的氦原子的动能为

E?33kT?k?K?1.29?10?4eV, 22显然远远小于?核c2这样，便有??hc2mHecE2

2?3.7?10?1.29?10 ?1.3?10?9m?1.3nm?1.24?10?69?4m

这里，利用了mHec2?4?938?106eV?3.7?109eV。

最后，再对德布罗意波长与温度的关系作一点讨论，由某种粒子构成的温度为T的体系，其中粒子的平均动能的数量级为kT，这样，其相应的德布罗意波长就为 ??h2mE?h2mkT

据此可知，当体系的温度越低，相应的德布罗意波长就越长，这时这种粒子的波动性就越明显，特别是当波长长到比粒子间的平均距离还长时，粒子间的相干性就尤为明显，因此这时就不能用经典的描述粒子统计分布的玻耳兹曼分布，而必须用量子的描述粒子的统计分布——玻色分布或费米公布。

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1.4 利用玻尔——索末菲的量子化条件，求：（1）一维谐振子的能量； 解：玻尔—索末菲的量子化条件为：

?pdq?nh

其中q是微观粒子的一个广义坐标，p是与之相对应的广义动量，回路积分是沿运动轨道积一圈，n是正整数。

（1）设一维谐振子的劲度常数为k，谐振子质量为m，于是有

p212E??kx

2m21这样，便有 p??2m(E?kx2)

2这里的正负号分别表示谐振子沿着正方向运动和沿着负方向运动，一正一负正好表示一个来回，运动了一圈。此外，根据谐振子在最大位移x?处p=0，

E?12kx? 22E。 k可解出 x???这样，根据玻尔——索末菲的量子化条件，有

?? ?

x?x?x?1212m(E?kx)dx??(?)2m(E?kx2)dx?nh

x?22?x?x?2m(E?x?121kx)dx??2m(E?kx2)dx?nh

x?22?x?x?2m(E?12kx)dx?nh2 22Esin? k为了积分上述方程的左边，作以下变量代换：x??这样，便有

??2?2?2E???nh2 2mEcos2?d?sin??k???? ?

m222Ecos?d??nh2 ???k2m2cos2??12Ed??nh2 ?k??222Em??nh2 k25

???

? E?m?nh2

k? E?n?k。

m能量间隔 ?E??k m最后，对此解作一点讨论。首先，注意到谐振子的能量被量子化了；其次，这量子化的能量是等间隔分布的。

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1.5 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两光子的能量相等，问要实现实种转化，光子的波长最大是多少？

解：关于两个光子转化为正负电子对的动力学过程，如两个光子以怎样的概率转化为正负电子对的问题，严格来说，需要用到相对性量子场论的知识去计算，修正当涉及到这个过程的运动学方面，如能量守恒，动量守恒等，我们不需要用那么高深的知识去计算，具体到本题，两个光子能量相等，因此当对心碰撞时，转化为正负电子对所需的能量最小，因而所对应的波长也就最长，而且，有

E?hv?mec2

此外，还有 E?pc?hc?

1.24?10?6hc?m?2.4?10?12m?2.4?10?3nm 于是，有 ??620.51?10mec尽管这是光子转化为电子的最大波长，但从数值上看，也是相当小的，我们

知道，电子是自然界中最轻的有质量的粒子，如果是光子转化为像正反质子对之类的更大质量的粒子，那么所对应的光子的最大波长将会更小，这从某种意义上告诉我们，当涉及到粒子的衰变，产生，转化等问题，一般所需的能量是很大的。能量越大，粒子间的转化等现象就越丰富，这样，也许就能发现新粒子，这便是世界上在造越来越高能的加速器的原因：期待发现新现象，新粒子，新物理。

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第二章波 函数和薛定谔方程

2.1证明在定态中，几率流与时间无关。

iEtrr?h证：对于定态，可令?(r,t)??(r)e，得

rihJ?(???*??*??)2miiiiEtEt?Et?Etihr?hr?hrr**hh ?[?(r)e?（?(r)e）??(r)e?（?(r)e）] 2m ?ih[?(rr)??*(rr)??*rr2m(r)??(r)] 可见J?与t无关。

8

2.2 由下列定态波函数计算几率流密度：

(1)?1eikr (2)?1ikr1?r2?re?

说明?1表示向外传播的球面波，?2表示向内(即向原点) 传播的球面波。

解：在球坐标中??ev?r?r?er1?r???er1???rsin??? 所以，Jrr只有ev1和J2r方向分量。

(1) Jrih*1?2m(?1??1??*1??1) ?ih1ikr?1?ikr1?ikr?12m[re?r(re)?re?r(reikr)]evr ?ih2m[1r(?11111v r2?ikr)?r(?r2?ikr)]er ?hkvhkrmr2er?mr3r ?J?1与r同向，表示向外传播的球面波。

(2) Jrih2?2m(?2??*2??*2??) ?ih2m[1re?ikr??r(1ikr1ikr?1?ikrvre)?re?r(re)]er ?ih2m[1r(?11111v

r2?ikr)?r(?r2?ikr)]er ??hkvhkrmr2er??mr3r J??2与r反向，表示向内(即向原点) 传播的球面波。

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2.3一粒子在一维势场

??，x?0? 0?x?a U(x)??0，??，x?a?中运动，求粒子的能级和对应的波函数。补充：设已知t=0时刻波函数为

?1?12?sinx?sinx,0?x?a?，求 ?(x,t)。 ?(x,0)??aaaa??0,x?0,x?a解：U(x)与t无关，是定态问题。其定态S—方程

??2d22mdx2?(x)?U(x)?(x)?E?(x) 在各区域的具体形式为

Ⅰ：x?0 ??2d22mdx2?1(x)?U(x)?1(x)?E?1(x) Ⅱ： 0?x?a ??2d22mdx2?2(x)?E?2(x) Ⅲ：x?a ??2d22mdx2?3(x)?U(x)?3(x)?E?3(x) 由于(1)、(3)方程中，由于U(x)??，要等式成立，必须

?1(x)?0 ?3(x)?0 即粒子不能运动到势阱以外的地方去。

方程(2)可变为 d2?2(x)dx2?2mE?2?2(x)?0 令k2?2mEd2?2(x)?2，得 dx2?k2?2(x)?0 其解为 ?2(x)?Asinkx?Bcoskx ④ 根据波函数的标准条件确定系数A、B，由连续性条件，得 ?2(0)??1(0) ⑤

?2(a)??3(a) ⑥

① ② ③ 10

⑤?B?0

⑥?Asinka?0

?A?0?sinka?0?ka?n? (n?1, 2, 3,?) ∴?(x)?Asin

n?x 2a由归一化条件

??(x)2dx?1

?a得 A2?sin2n?axdx?1 0由三角函数正交性

?am?0sinax?sinn?axdx?a2?mn ?A?2

a2n?

??2(x)?asinax2?k2?2mE??22?2 ?En?2ma2n (n?1,2,3,?)可见E是量子化的。 对应于En的归一化的定态波函数为

? ??2sinn?ixe??Ent, 0?x?an(x,t)???aa ? 0, x?a, x?a补充：粒子的一般含时波函数为?(x,t)??cn?n(x,t)，在t=0时刻

n?2?(x,0)????cnsinn?x,0?x?a??1sin?x?1sin2?x,0?x?a?naa??aaaa ?0,x?0,x?a??0,x?0,x?a所以c1?c2?1/2,其余cn?0，综上得任意时刻粒子波函数为

?(x,t?1??ihE1t12??ihE2t?(x,t)?1)??2(x,t)?sinxe?sinxe,0?x?a2???aaaa ?0,x?0,x?a

11

2.4. 证明（2.6-14）式中的归一化常数是A??1a

n???Asin(x?a), x?a?a证：?n?? 2.6-14）

? 0, x?a?1???ndx??A?2sin22an?(x?a)dx由归一化，得 ∴归一化常数

??aa?A?2?a1?a2[1?cosn?a(x?a)]dxA?2aA?2?xa2??a2??acosn?a(x?a)dx?A?2a?A?22?aan?sinn?a(x?a)?a?A?2a A??1a

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2.5 求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置。

???解：一维谐振子第一激发态的波函数 ?(x)??2?xe22?2122x，??m?/h。

?1(x)??1(x)?4?2?得几率密度为

?2?3??x2e??2?22x

??x2e??22x22d?1(x)2?3 ?[2x?2?2x3]e??x 对其微分得

dx?由极值条件，令

d?1(x) ?0， dx1可得 x?0 x?? x???

?由?1(x)的表达式可知，x?0 ， x???时，?1(x)?0。显然不是最大几率的位置。

d2?1(x)2?322223??2x2而 ?[(2?6?x)?2?x(2x?2?x)]edx2?而 3224??[(1?5?2x2?2?4x4)]e??x?d2?1(x)24?31即 ???0

dx2e1?x???可见x??

1???h是所求几率密度最大的位置。 # m? 13

2.6在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：U(?x)?U(x)，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。

证：在一维势场中运动的粒子的定态S-方程为

?2d2?(x)?U(x)?(x)?E?(x) ① ?2?dx2将式中的x以(?x)代换，得

?2d2?(?x)?U(?x)?(?x)?E?(?x) ② ?22?dx利用U(?x)?U(x)，得

?2d2?(?x)?U(x)?(?x)?E?(?x) ③ ?22?dx比较①、③式可知，?(?x)和?(x)满足同样的S-方程，都是描写在同一势场作用下的粒子状态的波函数。

如果体系不存在简并，它们描写的是同一个状态，因此?(?x)和?(x)之间只能相差一个常数c。方程①、③可相互进行空间反演 (x??x)而得其对方，由①经x??x反演，可得③，

? ?(?x)?c?(x) ④ 由③再经?x?x反演，可得①，反演步骤与上完全相同，即是完全等价的。 ? ?(x)?c?(?x) ⑤ ④乘 ⑤，得 ?(x)?(?x)?c2?(x)?(?x) 可见，c2?1，即 c??1

当c??1时， ?(?x)??(x)，??(x)具有偶宇称，

?(?x)???(x)，??(x)具有奇宇称。 当c??1时， 如果体系存在简并，对?(?x)和?(x)做线性组合：

?(x)??(x)??(?x)2,?(x)??(x)??(?x)2

根据叠加原理，?(x),?(x)也满足S-方程，且满足

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?(?x)??(x)，??(x)具有偶宇称，

?(?x)???(x)，??(x)具有奇宇称。

S-方程的定态波函数可以表达为?(x)（偶宇称）和?(x)（奇宇称）的叠加形式。 综上，当势场满足 U(?x)?U(x)时，粒子的定态波函数具有确定的宇称。#

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2.7 一粒子在一维势阱中运动，

??U0?0, x?a U(x)??

?? 0, x?a求束缚态(0?E?U0)的能级所满足的方程。

补充：取电子质量，势阱深20eV，a=0.5nm，给出基态（和第一激发态）能级的

数值结果并作波出函数和概率密度的图。 解法一：粒子所满足的定态S-方程为

??2d22?dx2?(x)?U(x)?(x)?E?(x) 按势能U(x)的形式分区域的具体形式为

Ⅰ：??2d22?dx2?1(x)?U0?1(x)?E?1(x) ???x?a Ⅱ：??2d22?dx2?2(x)?E?2(x) ?a?x?a Ⅲ：??2d22?dx2?3(x)?U0?3(x)?E?3(x) a?x?? 整理后，得

Ⅰ： ????2?(U0?E)1?2?1?0 Ⅱ：. ??2? E2???2?2?0 Ⅲ：????2?(U0?E)3?2?3?0 令 k2?(U0?E)21?2?2 k22??E?2 则

Ⅰ： ?1???k21?1?0 Ⅱ：. ??2??k22?2?0 Ⅲ：??3??k21?1?0 各方程的解为

① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ 16

?1?Ae?kx?Bekx ?2?Csink2x?Dcosk2x

11?3?Ee?kx?Fe?kx11由波函数的有限性，有

?1(??)有限 ?A?0

?3(?)有限 ?E?0因此

?1?Bekx1?3?Fe?k1x

由波函数的连续性，有

?1(?a)??2(?a),?Be?ka??Csink2a?Dcosk2a (10)1

?(?a),?k1Be?ka?k2Ccosk2a?k2Dsink2a (11)?1?(?a)??21?2(a)??3(a),?Csink2a?Dcosk2a?Fe?k1a (12)1

?(a)??3?(a),?k2Ccosk2a?k2Dsink2a??k1Fe?ka (13)?2整理(10)、(11)、(12)、(13)式，并合并成方程组，得

e?k1aB?sink2aC?cosk2aD?0?0

k1e?k1aB?k2cosk2aC?k2sink2a D?0?00?sink2aC?cosk2aD?e?k1aF?0

0?k2cosk2aC?k2sink2aD?k1e?k1aF?0解此（四元一次）方程即可得出B、C、D、F，进而得出波函数的具体形式。注

意，系数依赖于未定常数E，即该方程为数学上的本征方程。要方程组有非零解，必须系数矩阵的行列式为零

e?k1ak1e?k1a00sink2a?cosk2a?k2cosk2a?k2sink2asink2ak2cosk2acosk2a00?e?k1a?0

?k2sink2ak1Be?k1a 17

0?e?k1a?k2cosk2a?k2sink2asink2acosk2ak2cosk2a0sink2a?e?k1a?k1e?k1asink2a?cosk2acosk2a0?e?k1a?k2sink2ak1e?k1ak2cosk2a?k2sink2ak1e?k1a ?e?k1a[?k1k2e?k1acos2k2a?k22e?k1asink2acosk2a?2?k1a ?k1k2e?k1asin2k2a?k2esink2acosk2a]? ?k1e?k1a[k1e?k1asink2acosk2a?k2e?k1acos2k2a? ?k1e?k1asink2acosk2a?k2e?k1asin2k2a] ?e?2k1a[?2k1k2cos2k2a?k22sin2k2a?k12sin2k2a]2 ?e?2k1a[(k2?k12)sin2k2a?2k1k2cos2k2a]

∵ e?2k1a?0

2?k12)sin2k2a?2k1k2cos2k2a?0 ∴(k22?k12)tg2k2a?2k1k2?0 为所求束缚态能级(E)所满足的方程。 即 (k22?k12)tg2k2a?2k1k2的图，其中束缚态注意k1,k2 都依赖于E，做出函数f(E)?(k2要求0

能级的特点：U0较小（<1/a）且无论多小时，存在且只存在1个束缚态，随U0的增大，束缚态数增加。 由于本征方程的解不定，可以差一个常系数，取B为自由量，将其余系数矩阵（部分）化为（消元法）

?e?k1asink2a?cosk2a0???k1a?ke?kcoska?ksinka02222?1??ka?0sink2acosk2a?e1????k1a??0k2cosk2a?k2sink2ak1Be???k2sink2ae?k1ak2sin2k2a?k2sink2acosk2a0???k1a?2kecoska?kcoska?ksinkacoska0222222???1?ka?0sink2acosk2a?e1????k1a??0kcoska?ksinkakBe?22221??(k2sink2a?k1cosk2a)e?k1a??k1ake1???0??0????k2cosk2a?k2sink2a0?sink2acosk2a?e?k1a???k1a?k2cosk2a?k2sink2ak1Be?k200

所以由B及前三个方程可得（注第四个方程和前三个是自洽的）

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??C??Be?k1a(sink2a?k1/k2cosk?2a)?D??Be?k1a?Csink?ka2a?/(cosk2a)?Be1(cosk2a?k1/k2sink2a) ???F?(Csinkk2a?Dcosk2a)e1a?B(cos2k2a?k1/k2sin2k2a)??B??1?Bek1xx??a即粒子的波函数为 ???2?Csink2x?Dcosk2x?a?x?a ????k3?Fe1xx?aB可由波函数的归一化得出。 #

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