1（2）点D在抛物线的对称轴上，当?ACD的周长最小时，点D的坐标为 (，?5) ．

2（3）点E是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和BE．求?BCE面积的最大值及此时点

E的坐标；

（4）若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】HF：二次函数综合题

【分析】（1）由OA?2，OC?6得到A(?2,0)，C(0,?6)，用待定系数法即求得抛物线解析式．

（2）由点D在抛物线对称轴上运动且A、B关于对称轴对称可得，AD?BD，所以当点C、

D、B在同一直线上时，?ACD周长最小．求直线BC解析式，把对称轴的横坐标代入即求

得点D纵坐标．

（3）过点E作EG?x轴于点G，交直线BC与点F，设点E横坐标为t，则能用t表示EF的长．?BCE面积拆分为?BEF与?CEF的和，以EF为公共底计算可得S?BCE?1EFgOB，2把含t的式子代入计算即得到S?BCE关于t的二次函数，配方即求得最大值和t的值，进而求得点E坐标．

（4）以AC为菱形的边和菱形的对角线进行分类画图，根据菱形邻边相等、对边平行的性质确定点N在坐标．

【解答】解：（1）QOA?2，OC?6 ?A(?2,0)，C(0,?6)

Q抛物线y?x2?bx?c过点A、C

?4?2b?c?0?b??1?? 解得：?

0?0?c??6c??6??

?抛物线解析式为y?x2?x?6

（2）Q当y?0时，x2?x?6?0，解得：x1??2，x2?3 ?B(3,0)，抛物线对称轴为直线x?Q点D在直线x??2?31? 2211上，点A、B关于直线x?对称 22?xD?1，AD?BD 2?当点B、D、C在同一直线上时，C?ACD?AC?AD?CD?AC?BD?CD?AC?BC最小

设直线BC解析式为y?kx?6 ?3k?6?0，解得：k?2

?直线BC:y?2x?6

1?yD?2??6??5

21?D(，?5)

21故答案为：(，?5)

2

（3）过点E作EG?x轴于点G，交直线BC与点F 设E(t，t2?t?6)(0?t?3)，则F(t,2t?6)

?EF?2t?6?(t2?t?6)??t2?3t

111113327?S?BCE?S?BEF?S?CEF?EFgBG?EFgOG?EF(BG?OG)?EFgOB??3(?t2?3t)??(t?)2?22222228

?当t?3时，?BCE面积最大 23321?yE?()2??6??

224?点E坐标为(，?322127)时，?BCE面积最大，最大值为． 48

（4）存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形．

QA(?2,0)，C(0,?6)

?AC?22?62?210 ①若AC为菱形的边长，如图3， 则MN//AC且，MN?AC?210

?N1(?2，210)，N2(?2,?210)，N3(2,0)

②若AC为菱形的对角线，如图4，则AN4//CM4，AN4?CN4 设N4(?2,n)

??n?22?(n?6)2 解得：n???N4(?2,?10 310) 310)． 3综上所述，点N坐标为(?2，210)，(?2,?210)，(2,0)，(?2,?

【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，轴对称求最短路径，一次函数的图象与性质，一次方程（组)的解法，菱形的性质，勾股定理．第（4）题对菱形顶点存在性的判断，以确定的边AC进行分类，再画图讨论计算．