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问题十：范围问题（本质是函数问题）

x2设F1、F2分别是椭圆?y2?1的左、右焦点。

4（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求PF1·PF2的最大值和最小值；

（Ⅱ）设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角

（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围。

本题主要考察直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合应用数学知识解决问题及推理计算能力。 解：

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（22）（本小题满分14分）

x2y2设椭圆E: 2?2?1（a,b>0）过M（2，2） ，N(6,1)两点，O为坐标原点，

ab（I）求椭圆E的方程；

（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且

????????OA?OB？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。

解:

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（2009湖南卷文）（本小题满分13分）

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，以两个焦点和短轴的两个端点 为顶点的四边形是一个面积为8的正方形（记为Q）. （Ⅰ）求椭圆C的方程;

（Ⅱ）设点P是椭圆C的左准线与x轴的交点，过点P的直线l与椭圆C相交于M,N两点，当线段MN的中点落在正方形Q内（包括边界）时，求直线l的斜率的取值范围。

解:

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问题十一、存在性问题：（存在点，存在直线y=kx+m，存在实数，存在图形：三

角形（等比、等腰、直角），四边形（矩形、菱形、正方形），圆） （本小题满分14分）

x2y2设椭圆E: 2?2?1（a,b>0）过M（2，2） ，N(6,1)两点，O为坐标原点，

ab（I）求椭圆E的方程；

（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且

????????OA?OB？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。

解

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