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直线和圆锥曲线经常考查的一些题型
直线与椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的位置关系都有相交、相切、相离三种情况，从几何角度可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共点对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．
直线和椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的公共点问题，可以转化为它们的方程所组成的方程组求解的问题，从而用代数方法判断直线与曲线的位置关系。
解决直线和圆锥曲线的位置关系的解题步骤是： （1）直线的斜率不存在，直线的斜率存， （2）联立直线和曲线的方程组； （3）讨论类一元二次方程 （4）一元二次方程的判别式 （5）韦达定理，同类坐标变换 （6）同点纵横坐标变换
（7）x,y，k(斜率)的取值范围
（8）目标：弦长，中点，垂直，角度，向量，面积，范围等等
运用的知识：
1、中点坐标公式：x?点坐标。
2、弦长公式：若点A(x1,y1)，B(x2,y2)在直线y?kx?b(k?0)上，
则y1?kx1?b，y2?kx2?b，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，
AB?(x1?x2)2?(y1?y2)2?(x1?x2)2?(kx1?kx2)2?(1?k2)(x1?x2)2 ?(1?k2)[(x1?x2)2?4x1x2]
或者AB?x1?x2y?y,y?12，其中x,y是点A(x1,y1)，B(x2,y2)的中22111(x1?x2)2?(y1?y2)2?(x1?x2)2?(y1?y2)2?(1?2)(y1?y2)2
kkk?(1?1)[(y1?y2)2?4y1y2]。 2k3、两条直线l1:y?k1x?b1,l2:y?k2x?b2垂直：则k1k2??1
??两条直线垂直，则直线所在的向量v1?v2?0
4、韦达定理：若一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)有两个不同的根x1,x2，则
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bcx1?x2??,x1x2?。
aa常见的一些题型：
题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系
x2y2例题1、已知直线l:y?kx?1与椭圆C:??1始终有交点，求m的取值范围
4m思路点拨：直线方程的特点是过定点（0，1），椭圆的特点是过定点（-2，0）和（2，0），
（0，?m),且m?4。 和动点
x2y2解：根据直线l:y?kx?1的方程可知，直线恒过定点（0，1），椭圆C:??1过动
4mx2y2（0，?m),且m?4，如果直线l:y?kx?1和椭圆C:?点?1始终有交点，则
4mm?1，且m?4，即1?m且m?4。
规律提示：通过直线的代数形式，可以看出直线的特点： l:y?kx?1?过定点（01，）l:y?k(x?1)?过定点（?1，0） l:y?2?k(x?1)?过定点（?1，2）
证明直线过定点，也是将满足条件的直线整理成以上三种形式之一，再得出结论。
练习：1、过点P(3,2) 和抛物线y?x2?3x?2 只有一个公共点的直线有（ ）条。 A．4 B．3 C．2 D．1
2
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规律提示：含焦点的区域为圆锥曲线的内部。（这里可以用公司的设备画图） 一、过一定点P和抛物线只有一个公共点的直线的条数情况：
（1）若定点P在抛物线外，则过点P和抛物线只有一个公共点的直线有3条：两条切线，一条和对称轴平行或重合的直线；
（2）若定点P在抛物线上，则过点P和抛物线只有一个公共点的直线有2条：一条切线，一条和对称轴平行或重合的直线；
（3）若定点P在抛物线内，则过点P和抛物线只有一个公共点的直线有1条：和抛物线的对称轴平行或重合的直线和抛物线只有一个交点。
二、过定点P和双曲线只有一个公共点的直线的条数情况：
（1）若定点P在双曲线内，则过点P和双曲线只有一个公共点的直线有2条：和双曲线的渐近线平行的直线和双曲线只有一个公共点；
（2）若定点P在双曲线上，则过点P和双曲线只有一个公共点的直线有3条：一条切线，2条和渐近线平行的直线；
（3）若定点P在双曲线外且不在渐近线上，则过点P和双曲线只有一个公共点的直线有4条：2条切线和2条和渐近线平行的直线；
（4）若定点P在双曲线外且在一条渐近线上，而不在另一条渐近线上，则过点P和双曲线只有一个公共点的直线有2条：一条切线，一条和另一条渐近线平行的直线；
（5）若定点P在两条渐近线的交点上，即对称中心，过点P和双曲线只有一个公共点的直线不存在。
题型二：弦的垂直平分线问题
弦的垂直平分线问题和对称问题是一种解题思维，首先弄清楚哪个是弦，哪个是对称轴，用到的知识是：垂直（两直线的斜率之积为-1）和平分（中点坐标公式）。 例题2、过点T(-1,0)作直线l与曲线N ：y?x交于A、B两点，在x轴上是否存在一点E(x0,0)，使得?ABE是等边三角形，若存在，求出x0；若不存在，请说明理由。
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x2例题3、已知椭圆?y2?1的左焦点为F，O为坐标原点。
2（Ⅰ）求过点O、F，并且与x??2相切的圆的方程；
（Ⅱ）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围。
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