原码，反码，补码及运算

一、定义 1．原码

正数的符号位为0，负数的符号位为1，其它位按照一般的方法来表示数的绝对值。用这样的表示方法得到的就是数的原码。

【例2.13】当机器字长为8位二进制数时：

X＝＋1011011 [X]原码＝01011011 Y＝＋1011011 [Y]原码＝11011011

[＋1]原码＝00000001 [－1]原码＝10000001 [＋127]原码＝01111111 [－127]原码＝11111111 原码表示的整数范围是： －（2n-1－1）~＋（2n-1－1），其中n为机器字长。 则：8位二进制原码表示的整数范围是－127~＋127 16位二进制原码表示的整数范围是－32767~＋32767 2．反码

对于一个带符号的数来说，正数的反码与其原码相同，负数的反码为其原码除符号位以外的各位按位取反。

【例2.14】当机器字长为8位二进制数时：

X＝＋1011011 [X]原码＝01011011 [X]反码＝01011011 Y＝－1011011 [Y]原码＝11011011 [Y]反码＝10100100 [＋1]反码＝00000001 [－1]反码＝11111110 [＋127]反码＝01111111 [－127]反码＝10000000

负数的反码与负数的原码有很大的区别，反码通常用作求补码过程中的中间形式。 反码表示的整数范围与原码相同。 3．补码

正数的补码与其原码相同，负数的补码为其反码在最低位加1。

引入补码以后，计算机中的加减运算都可以统一化为补码的加法运算，其符号位也参与运算。

【例2.15】（1）X＝＋1011011 （2） Y＝－1011011

（1）根据定义有： [X]原码＝01011011 [X]补码＝01011011 （2） 根据定义有： [Y]原码＝11011011 [Y]反码＝10100100 [Y]补码＝10100101

补码表示的整数范围是－2n-1~＋（2n-1－1），其中n为机器字长。

则：8位二进制补码表示的整数范围是－128~＋127（-128 表示为10000000，无对应的原码和反码） 16位二进制补码表示的整数范围是－32768~＋32767

当运算结果超出这个范围时，就不能正确表示数了，此时称为溢出。

所以补码的设计目的是:

⑴使符号位能与有效值部分一起参加运算,从而简化运算规则.

⑵使减法运算转换为加法运算,进一步简化计算机中运算器的线路设计

4．补码与真值之间的转换

正数补码的真值等于补码的本身；负数补码转换为其真值时，将负数补码按位求反，末位加1，即可

得到该负数补码对应的真值的绝对值。

【例2.16】[X]补码＝01011001B，[X]补码＝11011001B，分别求其真值X。 （1）[X]补码代表的数是正数，其真值：

X＝＋1011001B

＝＋（1×26＋1×24＋1×23＋1×20） ＝＋（64＋16＋8＋1） ＝＋（89）D （2）[X]补码代表的数是负数，则真值：

X＝－（[1011001]求反＋1）B ＝－（0100110＋1）B ＝－（0100111）B

＝－（1×25＋1×22＋1×21＋1×20） ＝－（32＋4＋2＋1） ＝－（39）D

二、补码加、减运算规则 1、运算规则

[X＋Y]补= [X]补＋ [Y]补 [X－Y]补= [X]补＋ [－Y]补

若已知[Y]补，求[－Y]补的方法是：将[Y]补的各位（包括符号位）逐位取反再在最低位加1即可。 例如：[Y]补= 101101 [－Y]补= 010011

2、溢出判断，一般用双符号位进行判断： 符号位00 表示正数 11 表示负数

结果的符号位为01时，称为上溢；为10时，称为下溢

例题：设x=0.1101，y=－0.0111，符号位为双符号位 用补码求x+y，x－y

[x]补+[y]补=00 1101+11 1001=00 0110

[x－y]补=[x]补+[－y]补=00 1101+00 0111=01 0100 结果错误，正溢出

数值在计算机中表示形式为机器数,计算机只能识别0和1,使用的是二进制,而在日常生活中人们使用的是十进制.

数值有正负之分,计算机就用一个数的最高位存放符号(0为正,1为负).这就是机器数的原码了.假设机器能处理的位数为8.即字长为1byte,原码能表示数值的范围为

(-127~-0 +0~127)共256个.

有了数值的表示方法就可以对数进行算术运算.但是很快就发现用带符号位的原码进行乘除运算时结果正确,而在加减运算的时候就出现了问题,如下: 假设字长为8bits

( 1 ) 10- ( 1 )10 = ( 1 )10 + ( -1 )10 = ( 0 )10

(00000001)原 + (10000001)原 = (10000010)原 = ( -2 ) 显然不正确.

因为在两个整数的加法运算中是没有问题的,于是就发现问题出现在带符号位的负数身上,对除符号位外的其余各位逐位取反就产生了反码.反码的取值空间和原码相同且一一对应. 下面是反码的减法运算:

( 1 )10 - ( 1 ) 10= ( 1 ) 10+ ( -1 ) 10= ( 0 )10

(00000001) 反+ (11111110)反 = (11111111)反 = ( -0 ) 有问题.

( 1 )10 - ( 2)10 = ( 1 )10 + ( -2 )10 = ( -1 )10

(00000001) 反+ (11111101)反 = (11111110)反 = ( -1 ) 正确

问题出现在(+0)和(-0)上,在人们的计算概念中零是没有正负之分的.(印度人首先将零作为标记并放入运算之中,包含有零号的印度数学和十进制计数对人类文明的贡献极大).

于是就引入了补码概念. 负数的补码就是对反码加一,而正数不变,正数的原码反码补码是一样的.在补码中用(-128)代替了(-0),所以补码的表示范围为:

(-128~0~127)共256个.

注意:(-128)没有相对应的原码和反码, (-128) = (10000000) 补码的加减运算如下:

( 1 ) 10- ( 1 ) 10= ( 1 )10 + ( -1 )10 = ( 0 )10

(00000001)补 + (11111111)补 = (00000000)补 = ( 0 ) 正确

( 1 ) 10- ( 2) 10= ( 1 )10 + ( -2 )10 = ( -1 )10

(00000001) 补+ (11111110) 补= (11111111)补 = ( -1 ) 正确

所以补码的设计目的是:

⑴使符号位能与有效值部分一起参加运算,从而简化运算规则.

⑵使减法运算转换为加法运算,进一步简化计算机中运算器的线路设计

所有这些转换都是在计算机的最底层进行的，而在我们使用的汇编、C等其他高级语言中使用的都是原码。看了上面这些你应该对原码、反码、补码有了新的认识了吧

在计算机内，定点数有3种表示法：原码、反码和补码

所谓原码就是前面所介绍的二进制定点表示法，即最高位为符号位，“0”表示正，“1”表示负，其余位表示数值的大小。

反码表示法规定：正数的反码与其原码相同；负数的反码是对其原码逐位取反，但符号位除外。

补码表示法规定：正数的补码与其原码相同；负数的补码是在其反码的末位加1。

1、原码、反码和补码的表示方法

（1） 原码：在数值前直接加一符号位的表示法。

例如： 符号位 数值位

[+7]原= 0 0000111 B

[-7]原= 1 0000111 B

注意：a. 数0的原码有两种形式：

[+0]原=00000000B [-0]原=10000000B

b. 8位二进制原码的表示范围：-127～+127

（2）反码：

正数：正数的反码与原码相同。

负数：负数的反码，符号位为“1”，数值部分按位取反。

例如： 符号位 数值位

[+7]反= 0 0000111 B

[-7]反= 1 1111000 B

注意：a. 数0的反码也有两种形式，即

[+0]反=00000000B

[- 0]反=11111111B

b. 8位二进制反码的表示范围：-127～+127

（3）补码的表示方法

1）模的概念：把一个计量单位称之为模或模数。例如，时钟是以12进制进行计数循环的，即以12为模。在时钟上，时针加上（正拨）12的整数位或减去（反拨）12的整数位，时针的位置不变。14点钟在舍去模12后，成为（下午）2点钟（14=14-12=2）。从0点出发逆时针拨10格即减去10小时，也可看成从0点出发顺时针拨2格（加上2小时），即2点（0-10=-10=-10+12=2）。因此，在模12的前提下，-10可映射为+2。由此可见，对于一个模数为12的循环系统来说，加2和减10的效果是一样的；因此，在以12为