（2）过点G作GH⊥AD于H，推出四边ABGH为矩形，得到∠AME+∠AEM=90°，由于∠AME+∠GMH=90°等量代换得到∠AEM=∠GMH，推出△AEM≌△HMG（AAS），根据全等三角形的性质得到ME=MG，求得∠EGM=45°．根据全等三角形的性质得到ME=MF．即可得到结论；

（3 ）根据四边形ABCD是矩形，得到∠A=∠ADC=90°，等量代换得到∠AEM=∠DMC，根据相似三角形的性质得到为2

，于是得到结论．

，代入数据求得AE=

，当E、B重合时，AE最长

【解答】（1）证明：如图1，在矩形ABCD中，∠EAM=∠FDM=90°， ∵M是AD的中点， ∴AM=DM， 又∠AME=∠FMD， 在△AEM与△DFM中，∴△AEM≌△DFM（ASA）， ∴AE=DF；

（2）证明：如图2，过点G作GH⊥AD于H， ∴∠A=∠B=∠AHG=90°， ∴四边ABGH为矩形， ∴∠AME+∠AEM=90°， ∵MG⊥EF， ∴∠GME=90°． ∴∠AME+∠GMH=90° ∴∠AEM=∠GMH， ∵AD=4，M是AD的中点， ∴AM=2，

∵四边ABGH为矩形， ∴AB=HG=2， ∴AM=HG，

，

在△AEM与△HMG中，∴△AEM≌△HMG（AAS）， ∴ME=MG， ∴∠EGM=45°．

由（1）得△AEM≌△DFM， ∴ME=MF． ∵MG⊥EF， ∴GE=GF，

∴∠EGF=2∠EGM=90°． ∴△GEF是等腰直角三角形；

（3 ）解：当C、G重合时，如图4， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=∠ADC=90°， ∴∠AME+∠AEM=90°． ∵MG⊥EF， ∴∠EMG=90°， ∴∠AME+∠DMC=90°， ∴∠AEM=∠DMC， ∴△AEM∽△DMC ∴∴∴AE=

， ， ，

，

，

当E、B重合时，AE最长为2∴

＜AE≤2

．