第二节 排列与组合
[考纲传真] (教师用书独具)1.理解排列与组合的概念.2.理解排列数公式、组合数公式.3.能利用公式解决一些简单的实际问题．
(对应学生用书第170页)
[基础知识填充]
1．排列、组合的定义
排列的定义 组合的定义 从n个不同元素中取出按照一定的顺序排成一列 合成一组 m(m≤n)个元素 2.排列数、组合数的定义、公式、性质 排列数 组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数 Ann(n－1)(n－2)…(n－m＋1)C＝m＝ Amm！mnm定 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元义 素的所有排列的个数 公 式 性 质 An＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝mn！ (n－m)！An＝n！， 0！＝1 nCn＝Cn， Cn＋Cn＝Cn＋1 [基本能力自测] mm－1mmn－m1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．( ) (2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．( ) (3)若组合式Cn＝Cn，则x＝m成立．( ) (4)kCn＝nCn－1.( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√
2．(教材改编)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了毕业留言( )
A．1 560条B．780条 C．1 600条 D．800条
A[由题意，得毕业留言共A40＝1 560条．]
3．(2017·全国卷Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( ) A．12种
B．18种
2
xmkk－1
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C．24种 D．36种
D[由题意可得其中1人必须完成2项工作，其他2人各完成1项工作，可得安排4×3122121
方式为C3·C4·A2＝36(种)，或列式为C3·C4·C2＝3××2＝36(种)．
2故选D．]
4．某市委从组织机关10名科员中选3人担任驻村第一书记，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为( ) A．85 C．49
B．56 D．28
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C[法一(直接法)：甲、乙两人均入选，有C7C2种方法， 甲、乙两人只有1人入选，有C2C7种方法， 由分类加法计数原理，共有C2C7＋C2C7＝49种选法． 法二(间接法)：从9人中选3人有C9种方法， 其中甲、乙均不入选有C7种方法，
所以满足条件的选排方法有C9－C7＝84－35＝49种．]
5．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边(A，B可以不相邻)，那么不同的排法共有________种．
60[5人的全排列，B站在A的右边与A站在B的右边各占一半， 15
所以满足条件的不同排法共A5＝60种．]
2
(对应学生用书第171页)
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3
3
3
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排列问题 有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数． (1)选5人排成一排；
(2)排成前后两排，前排3人，后排4人； (3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾； (4)全体排成一排，女生必须站在一起； (5)全体排成一排，男生互不相邻．
[解] (1)从7人中选5人排列，有A7＝7×6×5×4×3＝2 520(种)．
(2)分两步完成，先选3人站前排，有A7种方法，余下4人站后排，有A4种方法，共有A7·A4＝5 040(种)．
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3
4
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(3)法一：(特殊元素优先法)先排甲，有5种方法，其余6人有A6种排列方法，共有5×A6＝3 600(种)．
法二：(特殊位置优先法)首尾位置可安排另6人中的两人，有A6种排法，其他有A5种排法，共有A6A5＝3 600(种)．
(4)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A4种方法，再将女生全排列，有A4种方法，共有A4·A4＝576(种)．
(5)(插空法)先排女生，有A4种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有A5种方法，共有A4·A5＝1 440(种)． [规律方法] 求解排列应用问题的六种常用方法 直接法 优先法 捆绑法 把符合条件的排列数直接列式计算 优先安排特殊元素或特殊位置 相隔问题把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列 对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列 正难则反、等价转化的方法 3
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3
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插空法 定序问题 除法处理 间接法 [跟踪训练] (1)在航天员进行的一项太空试验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，问试验顺序的编排方法共有( )
A．34种 C．96种
B．48种 D．144种
(2)(2017·北京西城区质检)把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．
(1)C(2)36 [(1)程序A的顺序有A2＝2种结果，将程序B和C看作一个元素与除A外的元素排列有A2A4＝48种结果，
由分步乘法计数原理，试验编排共有2×48＝96种方法．
(2)记其余两种产品为D，E，A，B相邻视为一个元素，先与D，E排列，有A2A3种方法．再将C插入，仅有3个空位可选，共有A2A3C3＝2×6×3＝36种不同的摆法．]
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组合问题 某课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长．现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？
(1)只有一名女生当选； (2)两队长当选； (3)至少有一名队长当选； (4)至多有两名女生当选．
[解] (1)只有一名女生当选等价于有一名女生和四名男生当选．故共有C5·C8＝350种．
(2)两队长当选，共有C2·C11＝165种．
(3)至少有一名队长当选含有两类：只有一名队长当选，有两名队长当选．故共有C2·C11＋C2·C11＝825种．(或采用排除法：C13－C11＝825(种))．
(4)至多有两名女生当选含有三类：有两名女生当选，只有一名女生当选，没有女生当选．故选法共有C5·C8＋C5·C8＋C8＝966种．
[规律方法] 组合问题的常见类型与处理方法 1“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取. 2“至少”或“至多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解. [跟踪训练] (1)(2018·银川质检)某地实行高考改革，考生除参加语文、数学、外语统一考试外，还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科，要求物理、化学、生物三科至少选一科，政治、历史、地理三科至少选一科，则考生选考方法种数共有( )
【导学号：79140342】
A．6 C．18
B．12 D．24
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(2)若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( ) A．60种 C．65种
B．63种 D．66种
(1)C(2)D[(1)法一：所有选考方法可分两类：第一类可分两步，第一步，考生从物理、化学、生物三科中任选一科有C3种不同的选法，第二步，考生从政治、历史、地理三科中任选二科有C3种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有C3C3种不同的选法；第二类可分两步，第一步，考生从物理、化学、生物三科中任选二科有C3种不同的选法，第二步，从政治、历史、地理三科中任选一科有C3种不同的选法，根
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