二、填空题：

1．(2010福建理)在等比数列?an?中,若公比q=4,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式

an? ．

【答案】4n-1

n-1【解析】由题意知a1?4a1?16a1?21，解得a1?1，所以通项an?4。

【命题意图】本题考查等比数列的通项公式与前n项和公式的应用，属基础题。

2．(2010湖南理)若数列?an?满足：对任意的n?N，只有有限个正整数m使得am＜n成立，记这

??样的m的个数为(an)?，则得到一个新数列(an)．例如，若数列?an?是1,2,3…，n,…，则数列

???(a)?是0,1,2,…，n?1,…．已知对任意的n?N，a??nn?n2，则(a5)?? ，

((an)?)?? ．

【答案】2，n

【解析】因为am?5，而an?n2，所以m=1,2,所以(a5)??2.

2因为 (a1)??0, (a2)??1,(a3)??1,(a4)??1, (a5)?2,(a6)?2,(a7)?2,(a8)?2,(a9)?2, (a10)??3,(a11)??3,(a12)??3,(a13)??3,(a14)??3,(a15)??3,(a16)??3,所以((a1)?)?＝1, ((a2)?)?＝4，((a3)?)?＝9，((a4)?)?＝16， 猜想((an)?)??n2

【命题意图】本题以数列为背景，通过新定义考察学生的自学能力、创新能力、探究能力，属难题。

3.(2010辽宁文)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3?3，S6?24，则a9? 。

?????

3?2?S?3a?d?331??a1??1?2解析：填15. ?,解得?，?a9?a1?8d?15.

6?5d?2??S?6a?d?2461?2?

4.(2010辽宁理)已知数列?an?满足a1?33,an?1?an?2n,则

【答案】

an的最小值为__________. n21 2【命题立意】本题考查了递推数列的通项公式的求解以及构造函数利用导数判断函数单调性，

考查了同学们综合运用知识解决问题的能力。

【解析】an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2[1+2+…(n-1)]+33=33+n2-n

an33??n?1 nn33?33?n?1，令f(n)?2?1?0，则f(n)在(33,??)上是单调递增， 设f(n)?nn在(0,33)上是递减的，因为n∈N+,所以当n=5或6时f(n)有最小值。

aaa53a6632121??又因为5?，，所以，n的最小值为6?

5566262n所以

5. (2010上海文)将直线l1:x?y?1?0、l2:nx?y?n?0、l3:x?ny?n?0（n?N，n?2）

围成的三角形面积记为Sn，则limSn? n??*1 。 2解析：B(nn,) 所以BO⊥AC， n?1n?11n2n?1 Sn=?2?(2?)?2n?122(n?1)n??所以limSn?1 2

*6. (2010上海理)将直线l2:nx?y?n?0、l3:x?ny?n?0（n?N，n?2）x轴、y轴围成的封闭图形的面积记为Sn，则limSn? 1 。

n??解析：B(nn,) 所以BO⊥AC， n?1n?11nn12? 所以limSn? Sn=?2?n??22n?1n?1

7.(2010浙江理)设a1,d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列?an?的前n项和为Sn，满足

S5S6?15?0，则d的取值范围是__________________ .

7. 解析：d??22或d?22

8. (2010浙江文)在如下数表中，已知每行、每列中的树都成等差数列，那么，位于下表中的第n行第n+1列的数是 。

解析：第n行第一列的数为n，观察得，第n行的公差为n，所以第n0行的通项公式为 和通项公式，以及运用等差关系解决问题的能力，属中档题

9.(2010天津文)设{an}是等比数列，公比q?an?n0??n?1?n0，又因为为第n+1列，故可得答案为n2?n，本题主要考察了等差数列的概念

2，Sn为{an}的前n项和。记Tn?17Sn?S2n,n?N*.an?1设Tn0为数列{Tn}的最大项，则n0= 。

【答案】4

【解析】本题主要考查了等比数列的前n项和公式与通项及平均值不等式的应用，属于中等题。

17a1[1?(2)n]a1[1?(2)2n]?1(2)2n?17(2)n?161?21?2Tn???na1(2)1?2(2)n11616nn因为≧8，当且仅当=4，即n=4时取等号，所??[(2)n??17](2)?(2)nn1?2(2)(2)以当n0=4时Tn有最大值。

【温馨提示】本题的实质是求Tn取得最大值时的n值，求解时为便于运算可以对(2)n进行换元，分子、分母都有变量的情况下通常可以采用分离变量的方法求解.

三、解答题：

1. (2010安徽文)设C1,C2,?,Cn,?是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x轴的正半轴上，且都

3x相切，对每一个正整数n,圆Cn都与圆Cn?13相互外切，以rn表示Cn的半径，已知{rn}为递增数列.

与直线y?(Ⅰ)证明：{rn}为等比数列；

（Ⅱ）设r1?1，求数列{}的前n项和.

1.【命题意图】本题考查等比列的基本知识，利用错位相减法求和等基本方法，考察抽象概括能力以及推理论证能力.

1.（本小题满分13分） 本题考查等比数列的基本知识，利用错位相减法求和等基本方法，考查

抽象能力以及推理论证能力。

nrn331x的倾斜角记为?，则有tan??,sin??. 332r1 设Cn的圆心为(?n,0)，则由题意知n?,得?n?2rn；同理?n?1?2rn?1,

?n2 从而?n?1??n?rn?rn?1?2rn?1,将?n?2rn代入，解得rn?1?3rn,

故|rn|为公比q?3的等比数列。

nn?11?n （II）由于r1?1,q?3,故rn?3,从而?n?3，

rn12n记Sn?????,则有r1r2rn

解：（I）将直线y?Sn?1?2?3?1?3?3?2???r1?31?n,①

Sn?1?3?1?2?3?2???(n?1)?31?n?n?3 ② 32S?1?21?n?n①—②，得n?1?3?3???3?n?3

31?3?n33??n?3?n??(n?)?3?n.222 39131?n9?(2n?3)?31?n?Sn??(n?)?3?.4224

【方法技巧】对于数列与几何图形相结合的问题，通常利用几何知识，并结合图形，得出关于数列相邻项an与an?1之间的关系，然后根据这个递推关系，结合所求内容变形，得出通项公式或其他所求结论.对于数列求和问题，若数列的通项公式由等差与等比数列的积构成的数列时，通常是利用前n项和Sn乘以公比，然后错位相减解决.

2、(2010安徽理) 设数列a1,a2,?,an,?中的每一项都不为0。

证明：?an?为等差数列的充分必要条件是：对任何n?N，都有1?1???1?n。

a1a2a2a3anan?1a1an?1

2.（本小题满分12分）本题考查等差数列、数学归纳法与充要条件等有关知识，考查推理论证、运算求解能力.

证：先证必要性

设数列{an}的公差为d,若d?0,则所述等式显然成立， 若d?0，则

111????a1a2a2a3anan?1???a?an1a2?a1a3?a2(????n?1)da1a2a2a3anan?31111111((?)?(?)???(?))da1a2a2a3anan?1

1111an?1?a1(?)?da1an?1da1an?1n?. a1an?1再证充分性. 证法1：（数学归纳法）设所述的等式对一切n?N?都成立，首先，在等式

112 ① ??a1a2a2a3a1a3两端同乘a1a2a3,即得a1?a3?2a2,所以a1,a2,a3成等差数列，

记公差为d,则a2?a1?d.

假设ak?a1?(k?1)d,当n?k?1时，观察如下二等式

111k?1?????, ② a1a2a2a3ak?1aka1a21111k， ③ ??????a1a2a2a3ak?1akakak?1a1ak?1将②代入③，得

k?11k??, a1akakak?1a1ak?1在该式两端同乘a1,akak?1,得(k?1)ak?1?a1?ka1.

将ak?a1?(k?1)d代入其中,整理后,得ak?1?a1?kd. 由数学归纳法原理知，对一切n?N?都有an?a1?(n?1)d, 所以{an}是公差为d的等差数列.

证法2：[直接证法]依题意有

111n?????, ① a1a2a2a3anan?1a1an?11111n?1??????. ② a1a2a2a3anan?1an?1an?2a1an?21n?1n②—①得， ??an?1an?2a1an?2a1an?1在上式两端同乘a1an?1an?2,得a1?(n?1)an?1?nan?1,

同理可得a1?nan?(n?1)an?1, ③ ③—④得2nan?1?n(an?2?an)

即an?2?an?1?an?1?an,所以{an}是等差数列，