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（1）求曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程； （2）求证：f(x)??1.
【答案】（1）y?2x?2；（2）见解析 【解析】 【分析】
(1)求导得直线的斜率利用点斜式得方程 (2)求导构造新函数证明f(x)min??1即可
【详解】（1）由f(x)?(2x?1)lnx?x?1，得f'(x)?2lnx?1?3，x?f?(1)?2，f(1)?0
则切线方程为y?2x?2.
11?3,x?(0,??)，令h(x)?2lnx??3,x?(0,??)， xx212x?1?h'(x)??2?2?0，故h(x)在(0,??)上单调递增.
xxx1e又h(1)?2?0,h()?1?ln4?ln?0，又h(x)在(0,??)上连续，
24（2）f'(x)?2lnx?112lnx??3?0.（*） ??x0?(,1)使得h(x0)?0，即f'(x0)?0，?0x02f'(x),f(x)随x的变化情况如下：
x (0,x0) x0 (x0,??) ? ↗ f'(x) f(x) ? ↘ 0 极小值
?f(x)min?f(x0)?(2x0?1)lnx0?x0?1. 由（*）式得lnx0?13?，代入上式得 2x02高考资源网版权所有，侵权必究！
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f(x)min?f(x0)?(2x0?1)(1313?)?x0?1??2x0??. 令2x022x02131?,x?(,1)， 2x2211(1?2x)(1?2x)t(x)t'(x)?2?2??0(,1)上单调递减.?t(x)?t(1)，又，故在
2x2x22t(x)??2x?t(1)??1，.
即f(x0)??1?f(x)??1.
【点睛】本题考查导数的集合意义,考查导数证明不等式,转化为求函数最值是解题的关键,考查推理及变形能力,是中档题
22.设n为给定不小于5的正整数，考察n个不同的正整数a1，a2，L，an构成的集合
P?{a1,a2,L,an}，若集合P的任何两个不同的非空子集所含元素的总和均不相等，则称
集合P为“差异集合”．
（1）分别判断集合A?{1,3,8,13,23}，集合B?{1,2,4,8,16}是否是“差异集合”；（只需写出结论）
i?1（2）设集合P?{a1,a2,L,an}是“差异集合”，记bi?ai?2(i?1,2,L,n)，求证：数列
{bi}的前k项和Dk≥0(k?1,2,L,n)；
（3）设集合P?{a1,a2,L,an}是“差异集合”，求
【答案】（1）集合A不是，集合B是；（2）见解析；（3）最大值为2?【解析】 【分析】
（1）利用定义直接判断
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111??L?的最大值． a1a2an1 n?12k（2）利用定义得a1?a2?L?ak?2?1，则
Dk?(a1?20)?(a2?21)?L?(ak?2k?1)?(a1?a2?L?ak)?(2k?1)?0即可证明
（3）不妨设a1?a2?a3?L?an，变形(1?1111111)?(?)?(?)?L?(n?1?) a12a24a32an
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?D1(1111111?)?D2(?2)?L?Dn?1(n?2?n?1)?Dnn?1?0结合a12a22a22a32an?12an2an111111111???L?n?1?2?n?1， ??L??2?n?1即可证明
a1a2an22422【详解】（1）集合A不是，因为1?23?3?8?13，即子集{1,23}与子集{3,8,13}元素之和相等；
集合B是，因为集合B的任何两个不同的非空子集所含元素的总和均不相等.
（2）由集合P是“差异集合”知：{a1,a2,a3,L,ak}的2k?1个非空子集元素和为互不相等的2k?1个正整数，
k于是a1?a2?L?ak?2?1，所以
Dk?(a1?20)?(a2?21)?L?(ak?2k?1)?(a1?a2?L?ak)?(2k?1)?0
（3）不妨设a1?a2?a3?L?an，考虑
1111111an?2n?1a1?1a2?2a3?4(1?)?(?)?(?)?L?(n?1?)????L?n?1
a12a24a32ana12a24a32an?D?DD1D2?D1D3?D2???L?nn?1n?1a12a24a32an1111111?)?D2(?2)?L?Dn?1(n?2?n?1)?Dnn?1?0 a12a22a22a32an?12an2an11111111??L?n?1?2?n?1，所以??L??2?n?1
a1a2an22422n?1?D1(而1?1111??L??2?当P?{1,2,4,L,2}时，； a1a2an2n?1综上，
111??L?的最大值为2?1. n?1a1a2an2【点睛】本题考查集合新定义问题，考查变形推理能力，准确理解题意进行转化是关键，是难题
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