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（2）X的所有可能取值为0,1,2

20C16C460P(X?0)=2=，

C209511C16C432P(X?1)=2=，

C209502C16C43P(X?2)=2=，

C2095?X的分布列为

X P

0 1 2 12 1932 953 95?期望E(X)?0?123232?1??2?? 1995955（3）如果选择A，可以从A的亩产数据的中位数或平均值比B高等方面叙述理由．如果选择B，可以从B的亩产数据比A的方差小，比较稳定等方面叙述理由．

【点睛】本题考查古典概型及独立事件的概率，考查超几何分布，理解平均数中位数及方差的意义是关键，是中档题

19.如图，在四棱锥P?ABCD中，CD?平面PAD，△PAD为等边三角形，AD // BC，

AD?CD?2BC?2，E，F分别为棱PD，PB的中点．

（1）求证：AE⊥平面PCD；

（2）求平面AEF与平面PAD所成锐二面角的余弦值；

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（3）在棱PC上是否存在点G，使得DG //平面AEF？若存在，求说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）【解析】 【分析】

（1）证明CD?AE和PD?AE即可证明

PG的值，若不存在，PCPG417? ；（3）存在，

PC517（2）取AD的中点O，连结OP,OB，得OP?AD，以O为原点，以OA、OB、OP所在直线分别为x、y、z轴如图建系，求得两平面的法向量，利用二面角向量公式求解 （3）假设棱PC上存在点G，使得DG //平面AEF，且设

PG??,???0,1?，求得平面PCuuurr4

AEF的法向量，利用DG?n?0得??

5

【详解】（1）因为CD?平面PAD，AD?平面PAD，AE?平面PAD，所以CD?AD，

CD?AE．

又因为△PAD为等边三角形，E为PD的中点，所以PD?AE．PD?CD?D， 所以AE⊥平面PCD．

（2）取AD的中点O，连结OP,OB，则易知OB // CD，OB?AD，OB?OP．因为△PAD为等边三角形，所以OP?AD．

以O为原点，以OA、OB、OP所在直线分别为x、y、z轴如图建系，

133，A(1,0,0),E(?,0,),F(0,1,),B(0,2,0)P(0,03),C(?1,2,0),D(?1,0,0)，

222uuuruuur133AE?(?,0,)，EF?(,1,0)

222?33uuuvv?x?z?0??n?AE?0r?22v设平面AEF的法向量n?(x,y,z)，则：?vuuu，即?，

n?EF?0??1x?y?0??2r令x?2，得平面AEF的一个法向量n?(2,?1,23)，易知平面PAD的一个法向量为

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uuurOB?(0,2,0)

uuurruuurrOB?n?217cos?OB,n??uuu??rr? 17OBn24?1?12所以平面AEF与平面PAD所成锐二面角的余弦值为17． 17（3）假设棱PC上存在点G，使得DG //平面AEF，且设

PG??,???0,1?，则PCuuuruuurPG??PC，

uuurPC?(?1,2,?3)，则G(??,2?,3?3?)，

uuurDG?(1??,2?,3?3?)，要使得DG //平面AEF，则

uuurr4

??，得， DG?n?2?2??2??6?6??05

所以线段PC上存在点G，使得DG //平面AEF，

PG4?． PC5【点睛】

本题考查线面垂直的判定，考查向量法求解二面角及线面平行问题，考查计算能力，是中档题

x2y220.已知椭圆E：2?2?1(a?b?0)的右焦点为(2,0)，且经过点(0,2)．

ab（1）求椭圆

的方程以及离心率；

（2）若直线y?kx?m与椭圆E相切于点P，与直线x??4相交于点Q．在x轴是否存在定点M，使MP?MQ？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

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x2y220) 【答案】（1）；（2）存在定点M，M为(?2，??1，e?842【解析】 【分析】

（1）利用c?2，b?2，a2?b2?c2?8求解方程

（2）设直线方程为y?kx?m，与椭圆联立利用判别式等于0得m2?8k2?4，并求得切点

uuuruuuur?8k4,)及Q(?4,?4k?m)，假设存在点M?t,0? ，利用MP?MQ?0化简求值 坐标P(mmx2y2【详解】（1）由已知得，c?2，b?2，a?b?c?8，椭圆的方程为??1，离

84222心率为e?c2； ?a20)使MP?MQ，证明：设直线方程为y?kx?m （2）在x轴存在定点M，M为(?2，x2y2代入??1得x2?2(kx?m)2?8，化简得(2k2?1)x2?4kmx?2m2?8?0

84由??(4km)?4(2k?1)(2m?8)?0，得8k2?4?m2?0，m2?8k2?4，

222?2km?8k?8km2?8k24?设P(x0,y0)，则x0?，y0?kx0?m?k??m??，

2k2?1mmmm则P(?8k4,)，设Q(?4,y1)，则y1??4k?m，则Q(?4,?4k?m) mm假设存在点M?t,0?

uuuruuuur8k2MP?MQ?(x0?t,y0)?(?t,y1)??2(x0?2)?y0y1??t?2??(t?2)?0解得t??2

m0?使MP?MQ． 所以在x轴存在定点M??2，【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查切线的应用，利用判别式等于0得坐标是解决问题的关键,考查计算能力,是中档题 21.已知函数f(x)?(2x?1)lnx?x?1.

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