19．【2017年高考北京卷文数】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为

A．60 C．20

B．30 D．10

【答案】D

【解析】该几何体是如下图所示的三棱锥P?ABC.

由图中数据可得该几何体的体积是V?11??5?3?4?10，故选D. 32【名师点睛】本题考查了空间想象能力，由三视图还原几何体的方法:

如果我们死记硬背，不会具体问题具体分析，就会选错，实际上，这个题的俯视图不是几何体的底面，因为顶点在底面的射影落在了底面三角形的外面，否则中间的那条线就不会是虚线.

20．【2017年高考浙江卷】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）

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是

??1 23?C．?1

2A．【答案】A

??3 23?D．?3

2B．

【解析】根据所给三视图可还原几何体为半个圆锥和半个棱锥拼接而成的组合体，所以，几何体的体积

1??121?为V??3?(??2?1)??1，故选A．

3222【名师点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽．由三视图画出直观图的步骤和思考方法：（1）首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；（2）观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；（3）画出整体，然后再根据三视图进行调整．

21．【2017年高考浙江卷】如图，已知正四面体D–ABC（所有棱长均相等的三棱锥），P，Q，R分别为

BQCR??2，分别记二面角D–PR–Q，D–PQ–R，D–QR–P的平面角AB，BC，CA上的点，AP=PB，

QCRA为?,?,?，则

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A．????? C．????? 【答案】B

B．????? D．?????

【解析】设O为三角形ABC中心，则O到PQ距离最小，O到PR距离最大，O到RQ距离居中，而三棱锥的高相等，因此?????，所以选B．

【名师点睛】立体几何是高中数学中的重要内容，也是高考重点考查的考点与热点．这类问题的设置一般有线面位置关系的证明与角度距离的计算等两类问题．解答第一类问题时一般要借助线面平行与垂直的判定定理进行；解答第二类问题时先建立空间直角坐标系，运用空间向量的坐标形式及数量积公式进行求解．

22．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB两边AC，

BC的距离均为3，那么P到平面ABC的距离为___________． 【答案】2

【解析】作PD,PE分别垂直于AC,BC，PO?平面ABC，连接CO，

由题意可知CD?PD,CD?PO，PDPO=P，

\\CD^平面PDO，又OD?平面PDO，?CD?OD，

PD?PE?3，PC?2，?sin?PCE?sin?PCD???PCB??PCA?60?，

又易知PO?CO，CO为?ACB的平分线，

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3， 2??OCD?45?,?OD?CD?1,OC?2，

又PC?2，?PO?4?2?2．

【名师点睛】本题主要考查学生空间想象能力，合理画图成为关键，准确找到P在底面上的射影，使用线面垂直定理，得到垂直关系，利用勾股定理解决．注意画图视角选择不当，线面垂直定理使用不够灵活，难以发现垂直关系，问题则很难解决，将几何体摆放成正常视角，是立体几何问题解决的有效手段，几何关系利于观察，解题事半功倍．

23．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为

长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．（本题第一空2分，第二空3分．）

【答案】26，2?1

【解析】由图可知第一层（包括上底面）与第三层（包括下底面）各有9个面，计18个面，第二层共有8个面，所以该半正多面体共有18?8?26个面．

如图，设该半正多面体的棱长为x，则AB?BE?x，延长CB与FE的延长线交于点G，延长BC交正方体的棱于H，由半正多面体对称性可知，△BGE为等腰直角三角形，

?BG?GE?CH?22x,?GH?2?x?x?(2?1)x?1， 22?x?1?2?1， 2?1即该半正多面体的棱长为2?1．

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