R-1,={<1,0>,<2,0>,<3,0>,<2,1>,<3,1>,<3,2>}

R?{0,1}={<0,1>,<0,2>,<0,3>,<1,2>,<1,3>} R[{1,2}]=ran(R|{1,2})={2,3}

16．设A={a,b,c,d}，R1，R2为A上的关系，其中

R1=?a,a,a,b,b,d?

R2??a,d,b,c,b,d,c,b23求R1R2,R2R1,R1,R2。

?

解: R1?R2={,,} R2?R1={}

R12=R1?R1={,,} R22=R2?R2={,,} R23=R2?R22={,,}

36．设A={1，2，3，4}，在A?A上定义二元关系R，

?,?A?A ，〈u,v> R ?u + y = x + v. (1)证明R 是A?A上的等价关系. (2)确定由R 引起的对A?A的划分. （1）证明：∵R ?u+y=x-y

∴R?u-v=x-y

??A?A ∵u-v=u-v ∴R ∴R是自反的

任意的,∈A×A 如果R ，那么u-v=x-y ∴x-y=u-v ∴R ∴R是对称的

任意的,,∈A×A

13

若R,R 则u-v=x-y,x-y=a-b ∴u-v=a-b ∴R ∴R是传递的 ∴R是A×A上的等价关系

(2) ∏={{<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>}, {<2,1>,<3,2>,<4,3>}, {<3,1>,<4,2>}, {<4,1>}, {<1,2>,<2,3>,<3,4>}, {<1,3>,<2,4>}, {<1,4>} }

41.设A={1，2，3，4}，R为A?A上的二元关系, ?〈a，b〉，〈c，d〉? A?A , 〈a，b〉R〈c，d〉?a + b = c + d (1) 证明R为等价关系. (2)求R导出的划分. (1)证明：?

a+b=a+b ∴R ∴R是自反的

任意的,∈A×A 设R，则a+b=c+d ∴c+d=a+b ∴R ∴R是对称的

任意的,,∈A×A 若R,R 则a+b=c+d,c+d=x+y ∴a+b=x+y ∴R ∴R是传递的

∴R是 A×A上的等价关系

(2)∏={{<1,1>}, {<1,2>,<2,1>}, {<1,3>,<2,2>,<3,1>}, {<1,4>,<4,1>,<2,3>,<3,2>}, {<2,4>,<4,2>,<3,3>}, {<3,4>,<4,3>}, {<4,4>}}

43. 对于下列集合与整除关系画出哈斯图:

14

(1) {1,2,3,4,6,8,12,24}

(2) {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} 解:

24884211263126319511

107

42 (1) (2)

45.下图是两个偏序集的哈斯图.分别写出集合A和偏序关系R的集合表达式.

debafc

gbcfdeag

(a) (b) 解: (a)A={a,b,c,d,e,f,g}

R={,,,,,,,,,}?IA

(b) A={a,b,c,d,e,f,g}

R={,,,,,,}?IA

46.分别画出下列各偏序集的哈斯图,并找出A的极大元`极小元`最大元和最小元.

(1)A={a,b,c,d,e}

R={,,,,,,}?IA. (2)A={a,b,c,d,e}, R={}?IA. 解:

15

edbcadeabc

(1) (2)

项目 (1) (2) 极大元: e a,b,d,e 极小元: a a,b,c,e 最大元: e 无 最小元: a 无

第八章部分课后习题参考答案

1．设f :N?N,且

?1，若x为奇数? f (x)=?x

若x为偶数?2，?求f (0), f ({0}), f (1), f ({1}), f ({0,2,4,6,…})，f ({4,6,8}), f -1({3,5,7}). 解：f (0)=0, f ({0})={0}, f (1)=1, f ({1})={1},

f ({0,2,4,6,…})=N，f ({4,6,8})={2,3,4}, f -1 ({3,5,7})={6,10,14}. 4. 判断下列函数中哪些是满射的?哪些是单射的?哪些是双射的? (1) f:N?N, f(x)=x2+2 不是满射，不是单射

(2) f:N?N,f(x)=(x)mod 3,x除以3的余数 不是满射，不是单射

?1，若x为奇数 (3) f:N?N,f(x)=? 不是满射，不是单射

?0，若x为偶数

?0，若x为奇数 (4) f:N?{0,1},f(x)=? 是满射，不是单射

?1，若x为偶数

(5) f:N-{0}?R,f(x)=lgx 不是满射，是单射 (6) f:R?R,f(x)=x2-2x-15 不是满射，不是单射

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