第六章 不等式
第1讲 不等式的概念与性质
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1．A 解析：①a＝1，b＝－1，＜不成立；
ab
22
②a＝1，b＝－1，a＞b 不成立； ③c＝0，ac4＞bc4 不成立；
ab
④因为c2＋1＞0，a＞b，所以2＞2成立．
c＋1c＋11111
2．C 解析：由x>y>0，得<，即－<0，A不正确；由x>y>0及函数y＝sin x的单
xyxy
1?x?1?y1?1?x
调性，可知sin x－sin y>0不一定正确，B不正确；由0<<1，x>y>0，得?<，即?2??2??2?21?y－??2?<0，C正确；由x>y>0，得xy>0，但不一定大于1，故ln x＋ln y＝ln xy>0不一定成立，D不正确．
3．D 解析：∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0，∴x2＋3>2x.∵a3＋b3－a2b－ab2＝(a－b)(a2
－b2)＝(a＋b)(a－b)2≥0，∴a3＋b3≥a2b＋ab2.∵a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，∴a2＋b2≥2(a－b－1)．
?b＋m?2b2bb＋m
4．B 解析：e1＝1＋2，e2＝1＋(m>0)，2.不妨令e1 bb＋mbb＋m 得bm aa＋maa＋m 故选B. 2a2822 5．B 解析：当方程①有实根，且②无实根时，a1≥4，a2<8，从而a3＝<＝4，∴a23 a12 <16，即方程③：x2＋a3x＋4＝0无实根．故选B.而A，D由于不等式方向不一致，不可推；C推出③有实根． 1 －2，－? 解析：因为f(1)＝0，所以a＋b＋c＝0.所以b＝－(a＋c)． 6.?2?? 又a>b>c，所以a>－(a＋c)>c，且a>0，c<0. a＋cccc 所以1>－>，即1>－1－>. aaaa2c <－1，ac1 所以解得－2<<－. a2c >－2，a ??? ax＋byax＋by7．b<b，将A，B两杯盐水混合后，盐水的浓度变为. x＋yx＋yax＋bybx＋byax＋byax＋ayax＋by则有>＝b，<＝a.故有b< x＋yx＋yx＋yx＋yx＋y8．6 解析：设有x辆汽车，则货物重为(4x＋20)吨． 8?x－1?＜4x＋20，?? 由题意，得?8x＞4x＋20， ??x∈N*. 解得5＜x＜7，且x∈N*.故只有x＝6才满足要求． 1 9．①④ 解析：①中，∵a2－b2＝1，∴a－b＝. a＋b ∵a＞0，b＞0，又a2＝b2＋1＞1， 1 ∴a＞1.从而＜1，即a－b＜1. a＋b ∴①正确． 5 ②中，取a＝5，b＝，验证知②错误． 6 ③中，取a＝4，b＝1，验证知③错误． ④∵a，b是正实数，不妨设a＞b>0， ∴a3－b3＝(a－b)(a2＋b2＋ab)． a3－b31 ∴a－b＝2. 2＝2a＋ab＋ba＋ab＋b2∵a3＝1＋b3＞1，∴a2＞1.∴a2＋ab＋b2＞1. 1 ∴0＜2＜1. a＋ab＋b21 ∴0 a＋ab＋b2同理，设0 3134 则y1＝x＋x·(n－1)＝x＋nx，y2＝nx. 4445134 因为y1－y2＝x＋nx－nx 445 n111 1－?. ＝x－nx＝x?4204?5?当n＝5时，y1＝y2； 当n>5时，y1 因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠． ?a?3＋?b?3 11．证明：方法一，左边－右边＝－(a＋b) ab ?a＋b??a－ab＋b?－ab?a＋b?＝ ab ?a＋b??a－2 ab＋b??a＋b??a－b?2＝＝≥0. abab∴原不等式成立． 方法二，左边>0，右边>0. 左边?a＋b??a－ab＋b? ＝ 右边ab?a＋b?a－ab＋b2 ab－ab＝≥＝1. abab∴原不等式成立． 4sin αcos α?1－cos α?－sin αsin α 12．解：2sin 2α－＝ 1－cos α1－cos α sin αsin α＝(－4cos2α＋4cos α－1)＝－(2cos α－1)2. 1－cos α1－cos α ∵α∈(0，π)，∴sin α＞0,1－cos α＞0，(2cos α－1)2≥0. sin αsin α∴－(2cos α－1)2≤0，即2sin 2α－≤0. 1－cos α1－cos α sin απ ∴2sin 2α≤，当且仅当α＝时取等号． 31－cos α 第2讲 一元二次不等式及其解法 b 1．B 解析：由题意关于x的不等式ax－b>0的解集是(－∞，1)，可得＝1，且a<0. a b x＋?<0，则(ax＋b)(x－3)>0可变形为(x－3)?即得(x－3)(x＋1)<0.所以－1 2．C 解析：当k＝0时，原不等式等价于－2＜0，显然恒成立，∴k＝0符合题意．当 ??k<0， k≠0时，由题意，得?解得－1 ??2k?－4k·[－?k＋2?]＜0.? ???x≤0，?x＞0， ?3．A 解析：依题意，得?或22?－1≤x≤0或0＜x≤1?－1≤x≤1. ??x＋2≥x－x＋2≥x?? 4．A 解析：不等式x2－4x－2－a>0在区间(1,4)内有解等价于a<(x2－4x－2)max.令g(x) ＝x2－4x－2，x∈(1,4)，∴g(x) 5．A 解析：由题意，得A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|－3＜x＜2}．A∩B＝{x|－1＜x＜2}，由根与系数的关系可知，a＝－1，b＝－2.∴a＋b＝－3. 6．{x|－5 又f(x＋2)＝f(|x＋2|)，所以f(x＋2)<3?f(|x＋2|)＝(|x＋2|)2－2|x＋2|<3.所以(|x＋2|－3)(|x＋2|＋1)<0.所以0≤|x＋2|<3，解得－5 7．21 解析：设f(x)＝x2－6x＋a，其图象是开口向上，对称轴是x＝3的抛物线，图象如图D115. 图D115 2 ??f?2?≤0， 关于x的一元二次不等式x－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，则? ?f?1?＞0???f?2?＝4－12＋a≤0， 即? ?f?1?＝1－6＋a＞0，? 解得5 则所有符合条件的a的值之和是6＋7＋8＝21. 11 －，2?，∴a<0；－，2是方8．①②③④ 解析：∵不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为??3?3 1b 程ax2＋bx＋c＝0的两根，－＋2＝－>0，∴b>0；f(0)＝c>0，f(1)＝a＋b＋c>0，f(－1)＝a 3a －b＋c<0.故正确结论的序号为①②③④. 2 f?x?x－4x＋11 9．解：(1)依题意，得y＝＝＝x＋－4. xxx 1 因为x>0，所以x＋≥2， x1 当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立， x 所以y≥－2. f?x? 所以当x＝1时，y＝的最小值为－2. x2 (2)因为f(x)－a＝x－2ax－1， 所以要使得“?x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立”只要“x2－2ax－1≤0在[0,2]上恒成立”． 不妨设g(x)＝x2－2ax－1， 则只要g(x)≤0在[0,2]上恒成立即可． ???g?0?≤0，?0－0－1≤0，?所以即? ?g?2?≤0.?4－4a－1≤0.?? 33 ，＋∞?. 解得a≥.故a的取值范围为??4?4 77 10．解：由f(1)＝，得a＋b＋c＝. 22 13 令x2＋＝2x2＋2x＋?x＝－1. 22 33 由f(x)≤2x2＋2x＋推得f(－1)≤. 22133 由f(x)≥x2＋推得f(－1)≥.∴f(－1)＝. 22235 ∴a－b＋c＝.故a＋c＝，且b＝1. 22 5 ∴f(x)＝ax2＋x＋－a. 251 依题意ax2＋x＋－a≥x2＋对一切x∈R都成立，∴a≠1，且Δ＝1－4(a－1)(2－a)≤0. 2233 由a－1>0，得a＝.∴f(x)＝x2＋x＋1. 22 证明如下： 33∵x2＋x＋1－2x2－2x－ 22111 ＝－x2－x－＝－(x＋1)2≤0. 22233 ∴x2＋x＋1≤2x2＋2x＋对x∈R都成立． 22 313 ∴存在实数a＝，b＝1，c＝1，使得不等式x2＋≤f(x)≤2x2＋2x＋对一切x∈R都成 222 立． 第3讲 算术平均数与几何平均数 1 1．D 解析：y＝x＋的定义域为{x|x≠0}，当x＞0时，有最小值2，当x＜0时，有最 x 大值－2.故A项不正确； x2＋31y＝2＝x2＋2＋2≥2， x＋2x＋2 ∵x2＋2≥2，∴取不到“＝”．故B项不正确；