/

∴AC2=AB2+BC2﹣2AB?BC?cos60°=3． ∴AB2=AC2+BC2．则BC⊥AC． ∵CF⊥平面ABCD，AC?平面ABCD， ∴AC⊥CF，而CF∩BC=C， ∴AC⊥平面BCF． ∵EF∥AC， ∴EF⊥平面BCF；

（2）解：分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设AD=CD=BC=CF=1，令FM=λ（则C（0，0，0），A（∴

=（﹣

），

，0，0），B（0，1，0），M（λ，0，1）， =（λ，﹣1，1），

，1，0），

设=（x，y，z）为平面MAB的一个法向量， 由

得

，取x=1，则=（1，

，

），

∵=（1，0，0）是平面FCB的一个法向量， ∴cos＜

＞=

=

．

∵，∴当λ=0时，cosθ有最小值为，

．

∴点M与点F重合时，平面MAB与平面FCB所成二面角最大，此时二面角的余弦值为

20．已知圆C1：x+y=r（r＞0）与直线l0：y=动点M满足

2

2

2

相切，点A为圆C1上一动点，AN⊥x轴于点N，且

，设动点M的轨迹为曲线C．

（1）求动点M的轨迹曲线C的方程；

（2）若直线l与曲线C相交于不同的两点P、Q且满足以PQ为直径的圆过坐标原点O，求线段PQ长度的取值范围．

【考点】KP：圆锥曲线的范围问题；J3：轨迹方程；KL：直线与椭圆的位置关系．

【分析】（1）设动点M（x，y），A（x0，y0），由于AN⊥x轴于点N．推出N（x0，0）．通过直线与圆相切，求出圆的方程，然后转化求解曲线C的方程．

/

/

（2）①假设直线l的斜率存在，设其方程为y=kx+m，设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，通过

，以及弦长公式，利用基本不等式求出范围．②若直线l的斜率不存在，设

OP所在直线方程为y=x，类似①求解即可．

【解答】解：（I）设动点M（x，y），A（x0，y0），由于AN⊥x轴于点N．∴N（x0，0）． 又圆与直线

即

相切，∴

．

∴圆．

由题意，，得

，

∴．

∴

， 即∴

将代入x2+y2

=9，得曲线C的方程为

．

（II）（1）假设直线l的斜率存在，设其方程为y=kx+m，设P（x1，y1），Q（x2，y2），

联立，可得（1+2k2

）x2

+4kmx+2m2

﹣8=0．

由求根公式得

．（*）

∵以PQ为直径的圆过坐标原点O，∴

．即

．

∴x1x2+y1y2=0．即∴x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0． 化简可得，．

将（*）代入可得

，即3m2

﹣8k2

﹣8=0．

即，又．

将代入，可

/

得

/

=．

∴当且仅当，即时等号成立．又由，∴，

∴．

（2）若直线l的斜率不存在，因以PQ为直径的圆过坐标原点O，故可设OP所在直线方程为y=x，

联立解得，同理求得，

故

．综上，得．

21．已知函数f（x）=（x+a）ln（x+a），g（x）=﹣+ax．

（1）函数h（x）=f（ex﹣a）+g'（ex），x∈，求函数h（x）的最小值； （2）对任意x∈上h'（x）≥0，h（x）递增，h（x）的最小值为

．

②当﹣1＜a﹣1＜1即0＜a＜2时，在x∈上h'（x）≤0，h（x）为减函数，在在x∈上h'（x）≥0，h（x）为增函数．

∴h（x）的最小值为h（a﹣1）=﹣ea﹣1+a．

③当a﹣1≥1即a≥2时，在上h'（x）≤0，h（x）递减，h（x）的最小值为h（1）=（1﹣a）e+a． 综上所述，当a≤0时h（x）的最小值为（x）最小值为（1﹣a）e+a． （II）设

，F'（x）=ln（x﹣1）+1+a（x﹣1）（x≥2）．

，当0＜a＜2时h（x）的最小值为﹣ea﹣1+a，当a≥2时，h

①当a≥0时，在x∈[2，+∞）上F'（x）＞0，F（x）在x∈[2，+∞）递增，F（x）的最小值为F（2）=0，不可能有f（x﹣a﹣1）﹣g（x）≤0． ②当a≤﹣1时，令∴

，解得：

，此时

．∴F'（x）在[2，+∞）上递减．∵F'（x）的最大值为F'（2）=a+1≤0，∴F（x）

递减．∴F（x）的最大值为F（2）=0， 即f（x﹣a﹣1）﹣g（x）≤0成立． ③当﹣1＜a＜0时，此时

，当

时，F''（x）＞0，F'（x）递增，当

时，F''（x）＜0，F'（x）递减．

/

/

∴∴在

=﹣ln（﹣a）＞0，又由于F'（2）=a+1＞0，

上F'（x）＞0，F（x）递增，

上F（x）＞0，显然不合题意．

又∵F（2）=0，所以在综上所述：a≤﹣1．

22．以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为

，（t为参数，0＜θ＜π），曲线C的极坐标方程为ρsinθ﹣2cosθ=0．

2

（1）求曲线C的直角坐标方程；

（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当θ变化时，求|AB|的最小值． 【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程． 【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的转化方法，求曲线C的直角坐标方程；

（2）将直线l的参数方程代入y2=2x，得t2sin2θ﹣2tcosθ﹣1=0，利用参数的几何意义，求|AB|的最小值． 【解答】解：（1）由ρsinθ﹣2cosθ=0，得ρsinθ=2ρcosθ． ∴曲线C的直角坐标方程为y2=2x；

（2）将直线l的参数方程代入y=2x，得tsinθ﹣2tcosθ﹣1=0． 设A，B两点对应的参数分别为t1，t2， 则

，

，

2

2

2

2

2

2

==．

当

时，|AB|的最小值为2．

23．已知函数f（x）=|x﹣5|﹣|x﹣2|．

（1）若?x∈R，使得f（x）≤m成立，求m的范围； （2）求不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0的解集． 【考点】R5：绝对值不等式的解法．

【分析】（1）通过讨论x的范围，求出f（x）的分段函数的形式，求出m的范围即可； （2）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可．

【解答】解：（1），

当2＜x＜5时，﹣3＜7﹣2x＜3，

/