分式有意义的条件及基本性质

1. 分式有意义的条件

分式有意义的条件：分式的分母不等于零。

分式的值为零的条件：（1）分子为0；（2）分母不为0。这两个条件缺一不可。 2. 分式的基本性质

分式的分子与分母都乘（或除）以同一个不等于0的整式，分式的值不变。用式子表示为：

AA?CAA?C，?，?C?0?，其中A、B、C都是整式。 ?BB?CBB?C注意条件：

①C是一个不等于0的整式，如

12x?1，其中必须满足2x?1?0； ?22x?14x?1②要深刻理解“都”“同一个”两个关键的含义，避免犯只乘分子（或分母）的错误； ③若分式的分子或分母是多项式，要先用括号把分子或分母括上，再乘（或除）以同一整式C； ④分式的基本性质是分式进行约分、通分和符号变化的依据。 3. 分式的约分、通分

解析定义 利用分式的基本性质，一般要约去分子和分母约分 所有的公因式，使所得结果成为最简分式或者整式。 方法技巧 找公因式方法： ①约去系数的最大公约数； ②约去分子、分母相同因式的最低次幂。 确定最简公分母的方法： 利用分式的基本性质，是把几个异分母的分式通分 分别化成相同分母的分式。通分保证：（1）各注意条件 约分时，分子或分母若是多项式，能分解则必须先进行因式分解，再找出分子和分母的公因式进行约分。 通分时，①要先确定各①各分母系数的最小公倍数； 分式的公分母，一般取②各分母所含有的因式； ③各分母所含相同因式的最高次幂； 各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母；②分子或分母是多项式，能分解则必先进行因式分解，再确定最简公倍数进行通分。 分式与原分式相等；（2）④所得的系数与各字母（或因各分式分母相同。 式）的最高次幂的积（其中系数都取正数）。 1

x-1例题1 若分式的值为零，则x的值为________。

x+1解析：分式的值为零的条件是：（1）分子＝0；（2）分母不等于零；两个条件需要同时具备，缺一不可，从而可以解答本题。

答案：解：

x-1x+1=0 则x-1=0，即x??1， 且x?1?0，即x??1， 故x＝1。 所以若分式

x-1x+1的值为零，则x的值为1。 点拨：本题考查了分式值为零的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念： （1）分式无意义?分母为零； （2）分式有意义?分母不为零；

（3）分式值为零?分子为零且分母不为零。

2例题2 112-1+a-a-1+-1-a2+4a＝_____________。

a4+1解析：先将前两个分式通分，将所得的结果再与后面的式子通分，依次计算即可。答案：解：原式＝12a+1-124aa-1-a2+1-a4

+1=-22a2a2-1-a2+1-4a4+1=-4a24a24-4

a-1a+18a6=-a8-1点拨：本题考查了通分，解决此题的关键是找到各分母的最简公分母。

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巧用整体代入求值技巧

在解答给定条件下求分式的值这类问题时，需要把待求值的分式进行恒等变形，转化成能用已知条件表示的形式，再代入计算，或先把条件进行化简再采用上述方法求值。

拓展：（芜湖中考）已知

112x-14xy-2y的值为__________。 -=3，则代数式

xyx-2xy-y解析：由

11-=3，通分可得：y－x＝3xy，然后将其代入原式变化后的式子即可求值。 xy11-=3 xy答案：解：Q?y?x?3xy

又Q原式=2x-2y-14xy2(x-y)-14xy， =(x-y)-2xy(x-y)-2xy将y－x＝3xy代入得：

?原式?2?(?3xy)?14xy?20xy??4

?3xy?2xy?5xy故答案：4

点拨：解决本类题型的关键是根据分式的基本性质化简分式，运用整体代入的数学思想，比如本题将

11-=3，变形为y－x＝3xy，代入求值。 xy

（答题时间：45分钟）

一、选择题 *1. 如果代数式A. x?0 **2. 若分式A. m33. 把

x有意义，那么ｘ的取值范围是（ ） x-1B. x?1

C. x>

0 D. x?0且x?1

1不论x取何值总有意义，则m的取值范围是（ ） 2x?2x?mB. m>1

C. m￡1 1

D. m<1

112,, 通分过程中，不正确是（ ）

2x-2(x-2)(x+3)(x+3)2A. 最简公分母是(x-2)(x+3)

3

1(x+3)B. =2x-2(x-2)(x+3)C.

21x+3 =2(x-2)(x+3)(x-2)(x+3)D.

2(x+3)2=2x-2(x-2)(x+3)2

4. 分式：①A. 1个

4aa?2a?b1，②，③，④中，最简分式有（ ） 22212?a?b?x?2a?3a?b

B. 2个

C. 3个

D. 4个

5. 若3x－2y=0，则

x等于（ ） yA.

2 3B.

3 2C. ?22 D. 或无意义

33二、填空题 *6. 若分式

22a中的a、b的值同时扩大到原来的10倍，则分式的值是 。 a+b27. 化简

a-b2的结果为_________。

a+abb2?c28. 已知a：b：c=2：3：5，则的值为 。 2a

三、解答题

*9. （1）当x为什么数时，分式

x+2x-1有意义？（2）当x为什么数时，分式的值为0？

22x-5x-1（3）当x为什么数时，分式

x-2的值为负数？ x+3**10. 在学习“分式”时，小明和小丽都遇到了“当x取何值时，

x+2x-42有意义”的问题。

小明的做法是：先化简

x+2x-42=1x+21，要使有意义，必须=x-2(x-2)(x+2)x-2x-2?0,即x?2；

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