(2)由题意可知直线l1斜率存在,设直线l1的方程为y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4). ①当k=0时,AB=4,直线l2的方程为x=1,CD=4, 故S四边形ACBD= ·|AB|·|CD|=8;
-
(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0. ②当k≠0时,直线l2的方程为y=-(x-1),由 得
∴x1+x2= ,x1x2= , 由弦长公式知|AB|= 同理可得|CD|=4(k+1).
∴S四边形ACBD= ·|AB|·|CD|= · ·4(k+1)=令t=k+1,t∈(1,+∞),则S四边形ACBD=
2
2
-
|x1-x2|=
- = .
2
. ,
-
= =
- - -
当t∈(1,+∞)时,∈(0,1),0<- - +4<3,则S四边形ACBD>=8. 综上所述,四边形ACBD面积的最小值为8.
疑难突破 通过联立直线方程与椭圆(圆锥曲线)方程,消去其中一个未知数,再用一元二次方程根与系数的关系,得到“目标函数”的解析式.
8.(2018安徽蚌埠二中4月月考,20)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左顶点为M,上顶点为N,直线2x+y-6 =0与直线MN垂直,垂足为B点,且点N是线段MB的中点. (1)求椭圆C的方程;
(2)若直线l:y=kx+m与椭圆C交于E,F两点,点G在椭圆C上,且四边形OEGF为平行四边形,求证:四边形OEGF的面积S为定值.
解析 (1)由题意知,M(-a,0),N(0,b),直线MN的斜率k= = ,得a=2b. ∵点N是线段MB的中点, ∴B(a,2b),
∵点B在直线2x+y-6 =0上, ∴2a+2b=6 ,又a=2b,
∴b= ,a=2 ,
∴椭圆C的方程为 + =1.
(2)证明:设E(x1,y1),F(x2,y2),G(x0,y0),将y=kx+m代入
2
2
2
+
=1,消去y整理得
(1+4k)x+8kmx+4m-12=0,则x1+x2=- ,x1·x2= ,y1+y2=k(x1+x2)+2m= , ∵四边形OEGF为平行四边形, =(x1+x2,y1+y2),得G -∴ = + 得点O到直线EF的距离d=∴
平
行
-
,将G点坐标代入椭圆C的方程得m= (1+4k),又易
2
2
,EF= |x1-x2|,
边
- =4·形
-
四OEGF=4· 的
=4 · 面积
S=d·|EF|=|m||x1-x2|=|m|·
=3 .
故平行四边形OEGF的面积S为定值3 .
9.(2017北京丰台一模,21)已知P(0,1)是椭圆C: + =1(a>b>0)上一点,点P到椭圆C的两个焦点
的距离之和为2 . (1)求椭圆C的方程;
(2)设A,B是椭圆C上异于点P的两点,直线PA与直线x=4交于点M,是否存在点A,使得S△APB=S△ABM?
若存在,求出点A的坐标;若不存在,请说明理由.
解析 (1)由椭圆C: + =1(a>b>0)过点P(0,1)得,b=1,又点P到两焦点的距离之为2 ,所以a= ,所以椭圆C的方程为+y=1.
2
(2)设A(xA,yA)则xA∈[- ,0)∪(0, ], 由题意知
=
=,
又因为 = - = , -
-
①当- ≤xA<0时, = = =, - -
-
解得xA=-4(舍去);
②当0 解得xA= . 由点A在椭圆C上,解得yA=± , 所在存在点A ,使得S△APB= S△ABM. 10.(2018安徽合肥高三调研检测,21)已知椭圆C: + =1(a>b>0)经过点M(2,1),且离心率e= . (1)求椭圆C的方程; (2)设A,B分别是椭圆C的上顶点、右顶点,点P是椭圆C在第一象限内的一点,直线AP,BP分别交x轴,y轴于点M,N,求四边形ABMN面积的最小值. 解析 (1)由椭圆的离心率为 得, = ,又c=a-b,∴a=2b, 2 2 2 又椭圆C经过点(2,1),∴ + =1,解得b=2, ∴椭圆C的方程为 + =1. (2)由(1)可知,A(0, ),B(2 ,0),设P(x0,y0)(0 2 - x+ ,从而M - - . . - (x-2 ),从而N - - ∴|AN|·|BM|= - · - = - - - ==8. - - - - ∴S四边形ABMN=S△OMN-S△OAB = (|OM|·|ON|-|OA|·|OB|) = ( |BM|+2 |AN|+8) =(|BM|+2|AN|)+4≥4+·2 =4+4 (O为坐标原点), 当且仅当|BM|=4,|AN|=2时取得最小值. 故四边形ABMN面积的最小值为4+4 . 解题思路 (1)由离心率及c=a-b得a,b的关系,再把已知点代入即可求出标准方程;(2)设出点P 2 2 2 的坐标,得到直线AP,BP的方程,从而表示出点M,N的坐标,进而得到|AN|·|BM|,最后利用S ABMN 四边形 =S△OMN-S△OAB及基本不等式求面积的最小值.