= =4
.
则△ABE的面积S= ×4
≥16,
当且仅当=x0,即x0=1时等号成立. 所以△ABE的面积的最小值为16.
评析 本题考查抛物线的标准方程、几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系以及解析几何中的定点问题、最值问题和结论探究性问题.本题综合性较强、难度较大,很好地考查了考生的逻辑思维能力和运算求解能力.本题的易错点是定点的确定.
【三年模拟】
一、选择题(每小题5分,共15分)
1.(2017河南郑州一模,11)已知直线l与双曲线 -y=1相切于点P,l与双曲线的两条渐近线交于 · 的值为( ) M,N两点,则
A.3 B.4
C.5 D.与P的位置有关 答案 A
2.(2017江西南昌NCS项目模拟,11)抛物线y=8x的焦点为F,设A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线上的两个动点,若x1+x2+4=
2
2
|AB|,则∠AFB的最大值为( )
A. B. C. D. 答案 D
3.(2018河南中原名校4月联考,11)已知抛物线C:y=4x的焦点为F,过点F且斜率为1的直线与抛物线C交于点A,B,以线段AB为直径的圆E上存在点P,Q,使得以PQ为直径的圆过点D(-2,t),则实数t的取值范围为( ) A.(-∞,-1]∪[1,+∞) B.[-1,3]
C.(-∞,2- ]∪[2+ ,+∞) D.[2- ,2+ ] 答案 D
2
二、解答题(共75分)
4.(2019届甘肃酒泉普通高中五校联考,20)已知倾斜角为 的直线经过抛物线Γ:y=2px(p>0)的焦点F,与抛物线Γ相交于A、B两点,且|AB|=8. (1)求抛物线Γ的方程;
(2)过点P(12,8)的两条直线l1、l2分别交抛物线Γ于点C、D和 E、F,线段CD和EF的中点分别为M、N.如果直线l1与l2的倾斜角互余,求证:直线MN经过一定点. 解析 (1)由题意可设直线AB的方程为y=x- , - 2由 消去y整理得x-3px+=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=3p,
由抛物线的定义得|AB|=x1+x2+p=4p=8,∴p=2, ∴抛物线的方程为y=4x.
(2)证明:设直线l1、l2的倾斜角分别为α、β,直线l1的斜率为k,则k=tan α. ∵直线l1与l2的倾斜角互余,
∴直线CD的方程为y-8=k(x-12),即y=k(x-12)+8, - 2由 消去x,整理得ky-4y+32-48k=0, ∴yC+yD=,∴xC+xD=24+ -,
2
2
∴点M的坐标为 ∴tan β=tan - =
- . == =
-
-
,∴直线l2的斜率为.
2
以 代替点M坐标中的k,可得点N的坐标为(12+2k-8k,2k), ∴kMN=
-
- - - -
=
.
-
2
∴直线MN的方程为y-2k= [x-(12+2k-8k)],
即 - y=x-10,显然当x=10时,y=0.
∴直线MN经过定点(10,0).
5.(2019届四川攀枝花第一次统考,20)椭圆C:+y=1的右顶点和上顶点分别为A,B,斜率为的直线
2
l与椭圆C交于P、Q两点(点P在第一象限). (1)求证:直线AP、BQ的斜率之和为定值; (2)求四边形APBQ面积的取值范围.
解析 (1)证明:设直线l的方程为y= x+m,代入椭圆C: +y=1,并整理得x+2mx+2m-2=0,
2
2
2
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则 从而kAP+kBQ=
-
-
-
-
+ - - - - - - -
== -
=0,
所以直线AP、BQ的斜率之和为定值0. (2)设C: +y=1的左顶点和下顶点分别为E,D, 则直线l、BE、AD为互相平行的直线,
所以A,B两点到直线l的距离等于两平行线BE、AD间的距离, ∴d=
2
.
∵|PQ|= |x2-x1|= |x2-x1|,
∴S四边形△APBQ=d·|PQ|=|x2-x1|= - ,
又P点在第一象限,∴-1 方法点拨 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种:①从特殊情况入手,先根据特殊位置和数值求出定值,再证明这个值与变量无关;②直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值. 6.(2019届四川成都高新区10月月考,20)如图,椭圆E: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,MF2⊥x轴,直线MF1交y轴于H点,|OH|= ,Q为椭圆E上的动点,△F1F2Q的面积的最大值为1. (1)求椭圆E的方程; (2)如图,过点S(4,0)作两条直线与椭圆E分别交于A,B,C,D,且使AD⊥x轴,问四边形ABCD的两条对角线的交点是不是定点?若是,求出该定点的坐标;若不是,请说明理由. 解析 (1)设M(c,yM),由题意可得 + =1,即yM=. ∵OH是△F1F2M的中位线,且OH= , ∴|MF2|= ,即 = ,整理得a=2b,① 又由题知,当Q在椭圆E的上、下顶点时,△F1F2Q的面积最大,∴( )max= ·2c·b=1,整理得bc=1,即b(a-b)=1,② 联立①②可得2b-b=1,变形得(b-1)(2b+b+1)=0,解得b=1,进而a=2. 6 4 2 4 2 2 2 2 2 2 24 ∴椭圆E的方程为+y=1. 2 (2)设A(x1,y1),C(x2,y2),则由对称性可知D(x1,-y1),B(x2,-y2),设直线AC与x轴交于点(t,0),直线AC的方程为x=my+t(m≠0), 222联立 消去x,得(m+2)y+2mty+t-2=0, ∴y1+y2= - ,y1y2= - ,由A,B,S三点共线有kAS=kBS, - - - 即 - = - ,将x1=my1+t,x2=my2+t,代入整理得2my1y2+(t-4)(y1+y2)=0,从而 - =0,化简得 2m(4t-2)=0,解得t=. 于是直线AC的方程为x=my+,故直线AC过定点 . 同理可得BD过定点 . ∴直线AC与BD的交点是定点,定点坐标为 . 规律总结 (1)若椭圆的标准方程为 + =1(a>b>0),则通径长为 ;(2)圆锥曲线中的直线过定点问 题,往往需要设出动直线方程,再把定点问题转化为动点的横坐标或纵坐标应该满足的关系,然后联立,利用根与系数的关系把前述关系化简,即可得到某些参数的关系或确定的值. 7.(2019届重庆中山外国语学校开学考试,20)已知P 2 是椭圆C1: + =1(a>b>0)与抛物线 E:y=2px(p>0)的一个公共点,且椭圆与抛物线具有一个相同的焦点F. (1)求椭圆C1及抛物线E的方程; (2)设过F且互相垂直的两动直线l1,l2,l1与椭圆C1交于A,B两点,l2与抛物线E交于C,D两点,求四边形ACBD面积的最小值. 解析 (1)∵P 是抛物线E:y=2px(p>0)上一点, 2 2 ∴p=2,∴抛物线E的方程为y=4x,F(1,0), ∴a-b=1.又∵P ∴ 2 2 2 在椭圆C1: + =1上, 2 2 + =1,结合a-b=1得b=3(负舍),a=4, 2 2 ∴椭圆C1的方程为 + =1,抛物线E的方程为y=4x.