出|AB|,联立直线OC与椭圆方程求|OC|,进而建立sin质求解.
疑难突破 把角的问题转化为三角函数问题,即由sin
与k1之间的函数关系,利用二次函数的性
=
=f(k1)求解是解题的突破口.
解题反思 最值问题一般利用函数的思想方法求解,利用距离公式建立sin与k1之间的函数关系
是解题关键.牢固掌握基础知识和方法是求解的前提.本题的完美解答体现了数学知识、能力、思想、方法的完美结合.
考点三 存在性问题
(2015四川,20,13分)如图,椭圆E: + =1(a>b>0)的离心率是 ,过点P(0,1)的动直线l与椭圆相交于A,B两点.当直线l平行于x轴时,直线l被椭圆E截得的线段长为2 . (1)求椭圆E的方程;
(2)在平面直角坐标系xOy中,是否存在与点P不同的定点Q,使得 = 恒成立?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
解析 (1)由已知得,点( ,1)在椭圆E上.
因此, - 解得a=2,b= .
所以椭圆E的方程为 + =1.
(2)当直线l与x轴平行时,设直线l与椭圆相交于C,D两点. 如果存在定点Q满足条件, 则有
==1,
即|QC|=|QD|.
所以Q点在y轴上,可设Q点的坐标为(0,y0). 当直线l与x轴垂直时, 设直线l与椭圆相交于M,N两点, 则M,N的坐标分别为(0, ),(0,- ). 由 = ,有
- = - ,
解得y0=1或y0=2.
所以,若存在不同于点P的定点Q满足条件, 则Q点坐标只可能为(0,2).
下面证明:当Q的坐标为(0,2)时,对任意直线l,均有 = . 当直线l的斜率不存在时,由上可知,结论成立.
当直线l的斜率存在时,可设直线l的方程为y=kx+1,A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2). 22 联立 得(2k+1)x+4kx-2=0. 其判别式Δ=(4k)+8(2k+1)>0, 所以,x1+x2=-因此+=
2
2
,x1x2=-
.
=2k.
易知,点B关于y轴对称的点B'的坐标为(-x2,y2).
又kQA= =
- -
=k- ,
kQB'=- =
- -
=-k+=k-, -
所以kQA=kQB',即Q,A,B'三点共线. 所以 = = = .
故存在与P不同的定点Q(0,2), 使得
=恒成立.
C组 教师专用题组
考点一 定值与定点问题
(2016北京,19,14分)已知椭圆C: + =1过A(2,0),B(0,1)两点. (1)求椭圆C的方程及离心率;
(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N.求证:四边形ABNM的面积为定值.
解析 (1)由题意得
解得a=2,b=1.
所以椭圆C的方程为 +y=1. (2)证明:由(1)知,A(2,0),B(0,1).
设P(x0,y0),则 +4 =4.
2
当x0≠0时,直线PA的方程为y= (x-2). -
令x=0,得yM=-
-
,从而|BM|=|1-yM|=
-
-
.
直线PB的方程为y= x+1.
令y=0,得xN=-
-
,从而|AN|=|2-xN|=
-
.
所以|AN|·|BM|= · - -
- -
= =
- -
- - - -
=4.
当x0=0时,y0=-1,|BM|=2,|AN|=2, 所以|AN|·|BM|=4. 综上,|AN|·|BM|为定值.
解法二:(Ⅱ)点P在曲线 + =1上,不妨设P(2cos θ,sin θ),当θ≠kπ且θ≠kπ+ (k∈Z)时,直线AP的方程为y-0= - (x-2),令x=0,得yM= - ; 直线BP的方程为y-1=∴|AN|·|BM|=2 - - -
-
-
(x-0),令y=0,得xN=
-
.
· -
-
=2 - - =2×2=4(定值).
当θ=kπ或θ=kπ+(k∈Z)时,M、N是定点,易得|AN|·|BM|=4.综上,|AN|·|BM|=4.
考点二 最值与范围问题
1.(2014四川,10,5分)已知F为抛物线y=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两
2
· =2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是( ) 侧, A.2 B.3 C.答案 B
2.(2014湖北,9,5分)已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且∠F1PF2= ,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( ) A.
D.
B.
C.3 D.2
答案 A
3.(2018浙江,21,15分)如图,已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点,抛物线C:y=4x上存在不同的两点A,B满足PA,PB的中点均在C上. (1)设AB中点为M,证明:PM垂直于y轴;
(2)若P是半椭圆x+ =1(x<0)上的动点,求△PAB面积的取值范围.
2
2
解析 本题主要考查椭圆、抛物线的几何性质,直线与抛物线的位置关系等基础知识,同时考查运算求解能力和综合应用能力.
(1)设P(x0,y0),A ,B .
因为PA,PB的中点在抛物线上, 所以y1,y2为方程 所以y1+y2=2y0, 因此,PM垂直于y轴.
(2)由(1)可知 -
所以|PM|= ( + )-x0= -3x0, |y1-y2|=2 - .
=4·
即y-2y0y+8x0- =0的两个不同的实根.
2
因此,△PAB的面积S△PAB=|PM|·|y1-y2|=
( -4x0 .
因为 +=1(x0<0),所以 -4x0=-4 -4x0+4∈[4,5].
因此,△PAB面积的取值范围是
.
疑难突破 解析几何中“取值范围”与“最值”问题
在解析几何中,求某个量(直线斜率,直线在x、y轴上的截距,弦长,三角形或四边形面积等)的取值范围或最值问题的关键是利用条件把所求量表示成关于某个变量(通常是直线斜率,动点的横、纵坐